МОДЕЛЬ БОКСА-ДЖЕНКИНСА

Одной из основных проблем применения такой модели является определение эффективных оценок ее параметров.

Здесь имеется 3 типа параметров: порядок разности d, авторегрессионые параметры , число которых равно q.

В общих чертах процедура выглядит следующим образом:

1) Вначале вычисляются разности ряда до тех пор, пока они не окажутся стационарными относительно математического ожидания и дисперсии, и отсюда получают оценку d.

Задача тогда сводится к оцениванию констант в модели авторегрессии – скользящего среднего:

(*)

где - разность порядка d исходного ряда.

Величины , стоящие в правой части (*), будут отсутствовать в выражении . Если умножить обе части (*) на и взять математическое ожидание, то правая часть будет равна нулю.

Обозначая автокорреляцию порядка k через , имеем

(**)

и (p-1) последующих уравнений, получаемых путем умножения на и т.д. Решение этих уравнений дает нам первые оценки параметров авторегрессии (к сожалению, из-за выборочных колебаний эмпирических ковариаций более высокого порядка эти оценки не очень надежны).

2) В таком случае с помощью этих оценок можно определить левую часть уравнения (*) и вычислить первые (q+1) автокорреляций для полученного ряда

не понятна строка

3) Наконец, автокорреляции используются при расчете начальных параметров. С другой стороны, мы знаем, то первые q автокорреляций процесса СС(q) не равны нулю и могут быть выражены через параметры модели

это выражение (для через ) дает q уравнений с q неизвестными.

Предварительные оценки можно получить, подставив в (***) вместо и решив получающуюся систему уравнений относительно , которые, к сожалению, оказываются нелинейными (квадратическими).

Предварительную оценку можно тогда получить из

заменив их предварительными оценками и выборочной дисперсией .

Далее эти предварительные оценки и используются как отправные в машинной программе, переоценивающей их путем минимизации суммы квадратов остатков, т.е. разностей между левой и правой частями (*).