ПРОЦЕССА СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО

(Дженкинс, Ваттс “Спектральный анализ и его приложения”- 5.4.4.,

Бокс, Дженкинс “Анализ временных рядов”)

I. Начальные оценки параметров процессов СС(q):

Из формулы (4[лекция 5 по СС(q)]) следует, что первые q автокорреляций процесса СС(q) не равны нулю и могут быть выражены через параметры модели

Это выражение дает q уравнений с q неизвестными . Предварительные оценки можно получить, подставив в уравнения вместо эмпирические (выборочные) значения коэффициентов автокорреляции и решив систему нелинейных (квадратических) уравнений.

II. На основе полученных начальных оценок , находятся значения

и затем методом наименьших квадратов рассчитываются эффективные оценки параметров для уравнения

Для иллюстрации этого подхода рассмотрим СС(1)

При полученном на первом этапе значении можно найти последовательность из имеющихся значений .

При этом разумным начальным значением случайного импульса можно рассматривать его математическое ожидание, равное нулю, т.е. . Тогда

III. Наконец, полученные на втором этапе автокорреляции используются при расчете начальных оценок параметров скользящего среднего .

Действительно, обозначив , мы имеем процесс скользящего среднего , для которого, как мы знаем первые q автокорреляций могут быть выражены через параметры модели

Решая полученную таким образом систему q уравнений относительно q неизвестных параметров , получаем начальные оценки .

Далее эти предварительные оценки и используются как отправные для переоценки их методом наименьших квадратов (после нахождения значений последовательности), т.е. для получения эффективных оценок и .

Лекция 8