рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Расчет погрешностей.

Расчет погрешностей. - раздел Экономика, ЭКОНОМЕТРИКА   Эмпирические Данные Часто Подвергаются Математической Обработ...

 

Эмпирические данные часто подвергаются математической обработке – над ними

выполняются арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления, в некоторых случаях производится логарифмирование, возведение в степень и др. Как это может сказаться на погрешности результата?

Покажем, что абсолютная погрешность суммы не превосходит суммы абсолютных погрешностей слагаемых. Пусть S=x+y, причем слагаемые x, y известны с абсолютной погрешностью ex, ey, так что

,

где a и b – точные значения слагаемых. Для вычисления абсолютной погрешности суммы S оценим разность:

.

Ясно, что в качестве предельной абсолютной погрешности суммы можно принять величину

eS=ex+ey . (14.1)

 

Аналогично проверяется, что абсолютная погрешность разности двух чисел d=x-y равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого: ed=ex+ey. Заметим, что если числа x и y мало отличаются между собой, относительная погрешность их разности dd=ed / |x-y| может оказаться весьма большой.

При вычислении суммы S=x1+x2+…+xn большого числа слагаемых, имеющих одинаковую абсолютную погрешность e, в соответствии с формулой (14.1) имеем

 

eS=ne . (14.2)

 

При n>>1 величина eS может оказаться довольно большой. Но эта оценка получается в

предположении, что ошибки всех слагаемых максимальны и имеют одинаковый знак, что представляется мало вероятным. Более естественным выглядит предположение, что ошибка e является случайной и распределена по нормальному закону , причем ошибки отдельных слагаемых являются независимыми случайными величинами. По правилу вычисления дисперсии сумма независимых случайных величин находим, что: или , так что .

При больших n (например, n=100) статистическая оценка дает значительно меньшее значение, чем предельная (14.2). Напомним, что отклонение случайной величины S от истинного значения более чем на 2sS возможно с вероятностью 0,045 (4,5%), а на 3sS – с вероятностью 0,003 или 0,3%.

Для вычисления погрешности произведения и частного двух положительных чисел x, y рассмотрим сначала общий случай функции двух переменных u= f(x,y) (аналогично рассматривается случай функций многих переменных). Пусть переменная x известна с погрешностью ex, переменная y – с погрешностью ey. Приращение функции Du заменим дифференциалом

, (14.3)

полагая величины ex и ey достаточно малыми. Отсюда следует, что абсолютная погрешность eu функции u оценивается по формуле:

. (14.4)

В статистической теории предполагают ошибки ex и ey независимыми случайными величинами. Для дисперсии величины du имеем формулу

. (14.5)

В случае произведения двух положительных чисел u=xy формула (14.4) дает оценку

, (14.6)

а по формуле (14.5) получим

. (14.7)

Для относительной погрешности произведения d u=e u / xy из формулы (14.6) следует, что

du=dx+dy , (14.8)

а из формулы (14.7) :

. (14.9)

Пусть надо перемножить n положительных чисел x1, x2, …, xn, заданных с одинаковой относительной погрешностью d. Формула (14.8) дает оценку du=nd , а по формуле (14.9) получаем .

Нетрудно убедиться в том, что для относительной погрешности частного U=x/y двух положительных чисел x, y также справедливы формулы (14.8) и (14.9).

Если требуется найти значение функции U=f(x) одной переменной x, то вместо формулы (14.3) имеем (в первом приближении) так что . Такой же результат следует из статистического анализа:

.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ЭКОНОМЕТРИКА

На сайте allrefs.net читайте: экономических специальностей...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Расчет погрешностей.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Состав исходной информации
Основной базой исходной информации для эконометрических исследований служат данные статистики либо данные бухгалтерского учета. Исследуемые эконометрикой взаимосвязи стохастичны по своей природе, т

Интерполяционный полином Лагранжа.
  Пусть имеется зависимость y = f(x) между величинами x и y, для которой нам известны отдельные точки (xi,yi), i = 0,1,2,…,

Случай 1.
Через одну точку (x0, y0) можно провести пучок прямых y = y0+b(x-x0) (2.1) (а также вертикальную пря

Случай 2.
Через две различные точки (x0,y0), (x1,y1) проходит одна и только одна прямая. Если x0 ¹

Случай 3.
Многочлен второй степени (квадратичная функция), график которой проходит через три точки (x0,y0), (x1,y1), (x2

Случай n.
Теперь ясно, что интерполяционный полином Лагранжа n-ой степени, график которого проходит через n+1 точку (xi,yi), i=0,1,2,…,n, можно записать в ви

Парная линейная регрессия. Метод наименьших квадратов
  Пусть имеется n пар чисел (xi, yi), i=1,2,…,n, относительно которых предполагается, что они отвечают линейной зависимости между величинами x и y:

Множественная линейная регрессия.
  Парная регрессия может дать хороший результат при моделировании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Но, существует обычно нескол

Нелинейные модели.
  Мы изучили применение метода наименьших квадратов для определения параметров, которые входят в функциональные зависимости линейно. Поэтому для них в параграфах 3 и 4 получились сист

Системы одновременных эконометрических уравнений.
  Объектом статистического изучения в социально-экономических науках являются сложные системы. Измерение тесноты связей между переменными, построение изолированных уравнений регрессии

Составляющие временного ряда
  Временной ряд x(t) – это множество значений величины x, отвечающих последовательности моментов времени t, т.е. это функция t®x(t), которая обычно считает

Определение составляющих временного ряда
  Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость последовательных значений

При этом коэффициенты ak, bk будут равны
Если функция x (t) четная, т.е. выполняется равенство x (-t) = x (t ), то в

Временной ряд как случайный процесс
  Пусть значение экономического показателя x( t ) в любой момент времени t представляет собой случайную величину X (t ). Предположим, что слу

Модели ARIMA
  В эконометрике анализ временных рядов с использованием оценки спектральной плотности (спектральный анализ) играет, как правило, вспомогательную роль, помогая установить периоды хара

Учет сезонных составляющих
  Обобщение модели ARIMA, позволяющие учесть периодические (сезонные) составляющие временного ряда было предложено Дж. Боксом и Г. Дженкинсом [2]. Этот метод реализован в систе

Анализ погрешностей исходной информации
  Значения экономических показателей обычно известны неточно, с некоторой погрешностью. Рассмотрим основные правила обработки данных, содержащих погрешности, или ошибки измерений. Пус

Доверительные интервалы
  Введем случайную величину . (13.1) Нетрудно проверить, что xÎN(0,1), вследствие ч

Коэффициент детерминации.
  Коэффициент детерминации характеризует качество регрессионной модели. Значения различных величин, получ

Средняя ошибка аппроксимации.
  Фактические значения интересующей нас величины отличаются от рассчитанных по уравнению регрессии. Чем меньше это отличие, чем ближе рассчитанные значения подходят к эмпирическим дан

Принцип максимального правдоподобия. Построение регрессионных моделей при гетероскедастичности ошибок
Для нахождения неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные погрешности, служит метод наименьших квадратов (МНК). Определяемые величины обычно связаны уравнениями, образующими

Статистические гипотезы
  В предыдущих параграфах рассматривалась методика моделирования взаимосвязей экономических показателей и процессов. С помощью полученных уравнений регрессии моделировалась эта связь.

F – статистика
  Значимость регрессионной модели определяется с помощью F-критерия Фишера. Для этого вычисляется отношение

T – статистика
  Для оценки значимости отдельных параметров регрессионной модели y=a+bx+e их величина сравнивается с их стандартной ошибкой. При этом рассчитывается так называемый

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги