Гармонической линеаризации

Важнейшей для практики задачей является задача определения возможных автоколебательных режимов и их параметров. Первый этап решения такой задачи - это осуществление гармонической линеаризации и определение параметров возможных автоколебаний на входе нелинейного звена.

Будем считать, что автоколебания описываются зависимостью вида (19) , без постоянной составляющей. Применив гармоническую линеаризацию, заменим нелинейное звено линейным, тогда

(27)

В результате получим линейную САУ с передаточной функцией

(28)

Входящие в величины и выражаем как нелинейные функции искомых неизвестных и . Необходимо отметить, что получаемая система является линейной только при фиксированных величинах и . При их изменении система по-прежнему нелинейна, так как содержит коэффициенты и , являющиеся функциями этих величин.

Искомые значения параметров и соответствуют наличию в этой системе незатухающих колебаний, то есть нахождению ее на грани устойчивости из-за наличия у характеристического уравнения пары сопряженных мнимых корней.

Далее можно воспользоваться любым известным из теории линейных систем критерием устойчивости для того, чтобы определить параметры автоколебаний. Наибольшее распространение получил критерий Найквиста, согласно которому условие границы устойчивости имеет вид:

(29)

Однако, нелинейный характер зависимостей, входящих в коэффициентов и от и делает задачу решения уравнения (29) более сложной, чем в случае определения границ устойчивости линейных систем. Для решения этого уравнения приходится прибегать к использованию графо-аналитических способов.

Одним из таких способов, является критерий С. Л. Гольдфарба. На комплексной плоскости строятся годограф при изменении и годограф видоизмененной нелинейной части системы - . При построении годографа нелинейной части варьируемым параметром является амплитуда . Нелинейный элемент является безинерционным, поэтому он не зависит от частоты. Точки пересечения годографов и определяют искомые параметры автоколебаний (рис.33).

Рис.33. Критерий Гольдфарба

 

После того, как найдены возможные автоколебательные режимы, необходимо исследовать их на устойчивость. Для этого:

1. На годографах указывают направление возрастания частоты и амплитуды.

2. Дают приращение амплитуды в каждой точке пересечения годографов.

3. Оценивают устойчивость автоколебаний в каждой точке пересечения годографов.

Если годограф линейной части системы не охватывает точку видоизмененной нелинейной характеристики при увеличении амплитуды до значения , то исследуемые автоколебания устойчивы (рис. ). В случае охвата ей этой точки – неустойчивы.

Рассмотрим примеры исследования САУ с типовыми релейными регуляторами.

 

 

Пример 1. Идеальное реле.

Структурная схема исследуемой системы представлена на рис.34. Используя метод гармонической линеаризации, необходимо определить возможность наступления автоколебаний и их параметры.

 

Рис.34. Структурная схема исследуемой системы

 

Для идеального реле передаточная функция нелинейной части системы имеет вид:

;

Выполним переход в частотную область, путем замены

;

Передаточная функция линейной части системы

;

Согласно критерию Найквиста , тогда для исследуемой системы получим:

Для построения годографа линейной части системы выделяем мнимую и действительную части, домножая числитель и знаменатель передаточной функции на сопряженное значение. В итоге получаем:

Для построения годографа нелинейной части системы используем выражение видоизменной передаточной функции:

Строим годографы на комплексной плоскости (рис.35).

Рис.35

 

Как видно из рис.35 годографы всегда будут иметь точку пересечения, следовательно, в исследуемой системе возможен режим автоколебаний. Точка пересечения годографов лежит на действительной оси, поэтому для определения частоты автоколебаний надо приравнять к нулю мнимую часть передаточной функции линейной части системы:

 

Пример 2. Реле с гистерезисом

 

Структурная схема исследуемой системы представлена на рис.36.

Рис.36. Структурная схема исследуемой системы

 

Для реле с гистерезисом передаточная функция нелинейной части системы будет иметь вид (b – ширина гистерезиса):

Согласно критерию Найквиста:

,

тогда для исследуемой системы получим:

Годографы линейной и видоизмененной нелинейной части системы представлены на рис. 37.

Рис.37.

Из рис. 37 видно, что точка пересечения годографов смещается ниже действительной оси. Можно сделать вывод о том, что с появлением гистерезиса амплитуда автоколебаний будет увеличиваться, а частота уменьшаться.

Пример 3. Реле с зоной нечувствительности.

Структурная схема исследуемой системы представлена на рис.38.

Рис.38. Структурная схема исследуемой системы

 

Для реле с зоной нечувствительности передаточная функция нелинейной части системы будет иметь вид (с – ширина зоны нечувствительности):

Согласно критерию Найквиста:

,

тогда для исследуемой системы получим:

;

Годографы линейной и видоизмененной нелинейной части системы представлены на рис.39.

Рис.39

 

Возможность наступления режима автоколебаний в такой системе определяется шириной зоны нечувствительности реле. Зависимость коэффициента гармонической линеаризации от амплитуды А показана на рис.40.

Рис.40. Зависимость коэффициента q от амплитуды А

 

Минимальное значение амплитуды определяется из условия экстремума:

Критическая точка, при которой наступают в системе автоколебания определяется, как (рис.41а). На рис.41б представлен случай, когда автоколебания в системе отсутствуют.

 

а) б)+

Рис.41. Годографы линейной и видоизмененной

нелинейной части системы

а – критическая точка, при которой наступают автоколебания;

б – автоколебания отсутствуют.