Идея метода гармонической линеаризации

Важную информацию о существовании периодических режимов в нелинейных системах, их числе и параметрах может дать приближенный метод гармонической линеаризации. Достоинство частотного метода гармонической линеаризации заключается в его наглядности и в возможности получения зависимости показателей качества процессов от вида и параметров нелинейности, структуры и параметров линейной системы. Отсутствуют ограничения, накладываемые на порядок дифференциальных уравнений, описывающих динамику системы.

Рассмотрим нелинейную систему, структурная схема которой представлена на рис. 29.

Рис.29. Нелинейная система I рода

Система состоит из линейной части с передаточной функцией и нелинейного элемента с характеристикой . Входная величина X нелинейного элемента и выходная Y являются периодическими функциями времени. Метод гармонической линеаризации основан на предположении, что колебания на входе нелинейного элемента являются синусоидальными, то есть

, (19)

где А – амплитуда, - частота этих колебаний (рис.30).

Рис.30. Прохождение гармонического колебания

через нелинейное звено

 

В действительности автоколебания в нелинейных системах всегда несинусоидальны вследствие искажения их формы нелинейным элементом. Поэтому указанное выше предположение означает, что метод гармонической линеаризации является приближенным и область его применения ограниченна.

Достоверность результатов исследования этим методом напрямую зависит от следующего условия:

Линейная часть системы должна являться фильтром низких частот. АЧХ линейной части системы в этом случае имеет вид, как на рис.31.

Рис.31. Вид АЧХ линейной части системы

 

Наибольшую амплитуду будет иметь первая гармоника. Чем выше частота автоколебаний, тем в меньшей степени линейная часть системы вследствие своей инерционности реагирует на высокочастотный сигнал. В силу этого обстоятельства высокочастотными составляющими сигнала на выходе линейной части можно пренебречь.

Если разложить выходные колебания Y(t) в ряд Фурье и отбросить высшие гармоники, получим следующее выражение:

+ высшие гармоники (20)

Здесь

, (21)

где

(22)

Продифференцировав это равенство, получаем:

(23)

Подставив выражения (22) и (23) в выражение (20) получим следующее:

(24)

Соответственно,

(25)

Коэффициенты и называются коэффициентами гармонической линеаризации. Они определяются видом нелинейности и значениями А и . Постоянная составляющая присутствует в уравнении (24) только для нелинейностей несимметричных относительно начала координат. Коэффициент равен нулю только в случае однозначных статических характеристик нелинейных элементов. Неоднозначность характеристик приводит к тому, что при изменении знака входного сигнала происходит запаздывание в изменении выходного сигнала в связи с переходом на другую ветвь характеристики . В результате при гармоническом входном воздействии возникает запаздывание по фазе первой гармоники на выходе относительно входного сигнала. Поэтому в данном случае коэффициент при косинусоидальной составляющей не равен нулю и отрицателен. Соответственно отрицательным будет и коэффициент .

Таким образом, передаточная функция нелинейной части системы может быть описана следующей зависимостью:

. (26)

Рассмотрим пример вычисления коэффициентов гармонической линеаризации для идеального реле.

Рис.32. Прохождение гармонического сигнала через идеальное реле

Для того, что найти коэффициенты и необходимо вычислить значения и :

;

, здесь

Видно, что коэффициент гармонической линеаризации зависит от величины - амплитуды гармонических автоколебаний входного сигнала. В этом проявляется нелинейность свойств данного звена.

Коэффициенты гармонической линеаризации для других типовых нелинейных звеньев вычисляются аналогично. Для решения задач можно воспользоваться готовыми справочными данными.