Критерий абсолютной устойчивости В.М. Попова

Статические характеристики большинства типовых нелинейных элементов располагаются в определенном угле между осью абсцисс и некоторой прямой (рис.23). При таком виде статической характеристики о ней говорят, что она задана в угле (0, k). 0 и k – тангенсы углов наклона линий, ограничивающих этот угол. Условия абсолютной устойчивости нелинейных систем исследованы в основном применительно к нелинейностям, удовлетворяющим условию сектора.

 

Рис.23. Условие сектора

 

Для применения критерия Попова на практике необходимо выполнение следующих условий:

1. В заданной системе можно выделить линейную и нелинейную части, то есть представить ее в виде схемы на рис.24.

Рис.24. Исследуемая система

 

2. Статическая характеристика нелинейной части должна быть однозначной, то есть не иметь гистерезиса, и лежать в угле (0, k).

Для определения устойчивости по критерию Попова используется модифицированная частотная характеристика линейной части системы

(18)

В случае, когда линейная часть системы устойчива, этот критерий формулируется следующим образом:

Система абсолютно устойчива, если при устойчивой линейной части системы через точку с координатами можно провести хотя бы одну прямую линию так, чтобы вся характеристика находилась от нее справа.

Такая линия называется прямой Попова.

Рис.25. Пример абсолютно устойчивой Рис.26. Пример неустойчивой

системы системы

 

 

На рис.25 показан пример абсолютно устойчивой по критерию Попова системы. Годограф на рис.26 иллюстрирует вариант неустойчивой системы.

Критерий В.М. Попова является достаточным, то есть он дает часть области устойчивости и его невыполнение не означает отсутствия абсолютной устойчивости. Согласно теории Попова, нелинейное звено заменяется идеальным линейным звеном с коэффициентом передачи , лежащим в пределах .

Рассмотрим пример исследования нелинейной системы по критерию Попова. Пусть линейная часть системы описывается типовым апериодическим звеном I порядка:

Частотная характеристика линейной части системы определяется выражением:

Воспользуемся уравнением (18) и перейдем к видоизмененной частотной характеристике линейной части

Исключая из выражений и , получим уравнение модифицированной АФХ в виде отрезка прямой (рис.27):

Рис.27. Годограф модифицированной AФХ

 

В данном случае прямую Попова можно провести даже через начало координат, что соответствует . Положение равновесия абсолютно устойчиво для всех нелинейностей с однозначной статической характеристикой, лежащей в угле , то есть в первом и третьем квадрантах.

Рассмотрим пример решения задачи нахождения критического значения ширины зоны нечувствительности нелинейного элемента методом Попова. При частоте автоколебаний рад/c, параметрах объекта и регулятора , , .

Известны зависимости

 

 

и .

 

 

 

Рис.28. Годографы исходной и модифицированной

линейной части системы

 

 

Коэффициент наклона линии сектора, в котором лежит кривая характеристики нелинейного звена

,

Следовательно,

При рад/c

Согласно критерию Попова точка с координатами должна находится внутри годографа. В этом случае будут иметь место устойчивые автоколебания.

подставляя значения, получаем -0,01<-0,25.

Определим , при котором в системе присутствуют устойчивые автоколебания:

,

рад

Ответ: 25 рад.