Взаимодействие объекта и регулятора. Законы регулирования

 

В этой части будут рассмотрены поведение неавтоматизированного объекта и объекта с различными типами регуляторов при действии одинаковых возмущений, а также будет проведен сравнительный анализ качества регулирования различных вариантов. Математическое описание регуляторов будем принимать простейшее из соответствующего класса, поскольку здесь нас интересуют в большей степени принципиальные различия, чем численные значения показателей. Будем рассматривать САР, работающую по принципу обратной связи.

Дифференциальное уравнение объекта регулирования :

 

(Tp +1)y = kxx +kzz,

(8.1)

 

где z рассматривается как обобщённое внешнее возмущение. Знак при возмущении примем плюс для удобства дальнейшего анализа. Итак, если нет регулятора, то нет регулирующего воздействия, и в этом случае поведение изолированного объекта описывается уравнением

 

(Tp +1)y = kzz.

(8.2)

 

В разделе «объект регулирования» рассмотрено поведение объекта при действии х. При действии z = z₀ аналогично имеем следующие показатели качества регулирования для объекта без регулятора (переходный процесс – неколебательный):

k_zz₀ ; t_пп = 3Т,

где z₀ – величина скачкообразного возмущения.

 

Система «объект – регулятор».

1. Пропорциональный, или П-регулятор. САР описывается двумя уравнениями, первое из которых – уравнение объекта, второе – уравнение регулятора:

(Tp +1)y = k_xx +k_zz (8.3)

х = - k_py.

 

Коэффициент k_p в уравнении регулятора называется коэффициентом усиления регулятора, он может быть изменён по желанию человека, и такая процедура называется настройкой регулятора. Знак минус в уравнении регулятора соответствует тому, что главная обратная связь отрицательна, это обсуждалось в теме «передаточная функция».

Исключив из этой системы х , получим уравнение САР:

 

[Tp + (1+k_xk_p)]y = k_zz.

 

Разделив на (1+k_xk_p), получим

 

.

(8.4)

 

Уравнение (8.4) по виду аналогично (8.2), поэтому о качестве регулирования САР с П-регулятором можно сказать следующее:

- переходный процесс неколебательный;

- установившаяся ошибка и время переходного процесса в САР

(8.5)

 

меньше, чем у объекта без регулятора (рис. 8.1).

 

 

 

Рис. 8.1 Эффект введения П-регулятора

 

Увеличением коэффициента усиления регулятора достигают уменьшения обоих показателей качества. Логично возникает вопрос: возможно ли настроить регулятор на столь высокую точность регулирования, чтобы установившаяся ошибка была равна нулю? Как следует из (8.5), для этого коэффициент усиления регулятора должен быть бесконечно большим. Регуляторов с таким свойством не существует хотя бы потому, что для этого требуется бесконечно большая мощность.

Применением П-регулятора невозможно полное устранение установившейся ошибки регулирования . Практически часто обеспечивается достаточно малая ошибка, например, при регулировании частоты электроэнергии, вырабатываемой судовыми генераторами (степень неравномерности 1- 2%).

 

2. Интегральный, или И-регулятор. Уравнения системы:

 

(Tp +1)y = k_xx + k_zz (8.6)

рх = - k_iy.

 

Исключая из этих уравнений x = - k_iy/p, после освобождения от знаменателя получим уравнение САР:

 

(Tp2 + p + kxki)y = kzpz.

(8.7)

 

Уже по уравнению регулятора видно, что установившаяся ошибка в системе равна нулю. Действительно, установившийся режим наступит, когда прекратится изменение регулирующего воздействия: x = const., тогда производная px = dx/dt = 0, следовательно, . Это можно объяснить и по уравнению САР. В его правой части имеется выражение pz= dz/dt, что при возмущении z₀ = const. даёт pz₀ = 0, что формально можно трактовать как исчезновение возмущения, то есть опять-таки .Регулятор является астатическим, то есть на всех установившихся режимах он поддерживает одно и то же значение регулируемой величины.Такимобразом, признаком того, что установившаяся ошибка САР равна нулю, является наличие свободного оператора дифференцирования р в левой части уравнения регулятора либо в правой части уравнения САР.

Недостатки интегрального регулятора. Дифференциальное уравнение САР оказалось второго порядка, и в системе возможны колебательные переходные процессы. При выполнении условия 1 - 4Tk_xk_i < 0 корни характеристического уравнения Tp² + p + k_xk_i =0 комплексные вида

р_1,2 = - a ± iw,

причём a = 1/2Т. Отсюда продолжительность переходного процесса

t_пп = 3/a = 6Т,

то есть больше чем у объекта без регулятора (рис. 8.2, а). Если же настройкой коэффициента усиления k_i добиться, чтобы корни были вещественными, то один из них по модулю будет меньше 1/2Т, а значит, в этом случае продолжительность переходного процесса, определяемая, как указано в (7.4), будет больше 6Т (рис. 8.2, б).

 

Рис. 8.2 Эффекты введения И-регулятора.

 

3.Пропорционально-интегральный, или ПИ-регулятор. Уравнения системы:

 

(Tp +1)y = k_xx +k_zz (8.8)

рх = - k_ppy - k_iy.

 

Здесь настроечных параметров два: коэффициенты усиления пропорциональной составляющей k_p и интегральной составляющей k_i. Если предположить, что k_p= 0, то имеем случай И-регулятора, если же k_i=0, то после сокращения на р получаем П-регулятор. Поступив уже знакомым образом, приходим к уравнению САР:

 

[Tp² + (1+k _x k_p)p + k_xk_i]y = k_zpz. (8.9)

 

По аналогии с И-регулятором (свободный оператор р в правой части уравнения САР) установившаяся ошибка регулирования равна нулю. Отсюда вывод: полное устранение установившейся ошибки регулирования возможно с помощью любого регулятора, имеющего интегральную составляющую в законе регулирования. Далее, характеристическое уравнение

 

Tp² + (1+k _x k_p)p + k_xk_i = 0

имеет корни

.

Выбрав коэффициенты настройки так, чтобы подкоренное выражение было близким к нулю и положительным, получим два вещественных , близких по модулю корня, то есть обеспечим неколебательный переходный процесс. Выбрав, кроме того, k_p достаточно большим, получим два корня, больших по модулю, что обеспечивает малую продолжительность переходного процесса (рис.8.3).

 

 

Рис.8.3. Эффект введения ПИ-регулятора.

 

Как видно, применение ПИ-регулятора позволяет получить весьма высокое качество регулирования.

Законы регулирования.

Законом регулирования называется выраженная в интегральной форме функциональная зависимость регулирующего воздействия (выходной величины регулятора) от регулируемой величины (входной величины регулятора). Законы регулирования имеют вид:

- для П- регулятора: x = - k_py;

- для И- регулятора: x=-k_i ∫ ydt;

- для ПИ- регулятора: x = - k_py -k_i ∫ ydt .

Наиболее общим законом регулирования является закон ПИД – пропорционально-интегрально-дифференциальный:

, (8.10)

где присутствует производная регулируемой величины и ещё один параметр настройки – коэффициент усиления дифференциальной составляющей k_d. Использование сигнала по производной позволяет во многих случаях значительно повысить точность регулирования в отношении многих показателей качества. Дифференциальное уравнение ПИД- регулятора таково:

 

рх = - k_ppy - k_iy ± k_dp²y. (8.11)

 

Обратим внимание на то, что введение в закон регулирования дифференциальной составляющей требует внимательного обращения с её знаком. При неправильно выбранном знаке дифференциальной составляющей качество регулирования может, наоборот, ухудшиться, нередко вплоть до потери устойчивости. Из ПИД-регулятора как варианты получаются П-, И-, Д-, ПИ-, ПД-, ИД, наконец, ПИД-регуляторы. Следует отметить, что самостоятельно Д-регулятор не применяется, поскольку он реагирует на скорость изменения регулируемой величины и не уменьшает статическую ошибку регулирования.

 

Случай неправильного включения регулятора.

 

На практике, к сожалению, такие случаи встречаются. Один из примеров – ошибка при подключении электропитания трёхфазного электродвигателя, используемого в САР в качестве исполнительного механизма. Не вдаваясь в рассуждения об очевидных катастрофических последствиях, рассмотрим математическую сторону вопроса на примере системы с простейшим пропорциональным регулятором.

Система уравнений САР:

 

(Tp +1)y = k_xx + k_zz (8.12)

х = + k_py.

 

Неправильное включение подчеркнуто изменением знака в уравнении регулятора (положительная главная обратная связь). К уравнению системы придём, заменив знак при k_p в выражении (91):

 

 

Рассмотрим характеристическое уравнение системы

 

 

Обычно для обеспечения малой установившейся ошибки коэффициент усиления регулятора устанавливают настолько большим, что

 

1 - k_xk_p< 0,

это означает, что коэффициенты характеристического уравнения имеют разные знаки, следовательно, САР неустойчива (рис.8.4).

 

Рис.8.4. Последствия неправильного включения регулятора.