Реферат Курсовая Конспект
Вероятность события - раздел Финансы, Математические модели финансовой математики носят вероятностный характер Вероятностью Появления События АНазывают Отношение Чи...
|
Вероятностью появления события Аназывают отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элементарных исходов.
Обозначим число благоприятствующих событию А исходов через М, а число всех исходов — N:
P(A)=M/N,
где М — целое неотрицательное число, 0 £ М £ N.
Другой тип объективной вероятности определяется исходя из относительной частоты (частости) появления события. Например: если некоторая фирма в течение времени провела опрос 1 000 покупателей нового сорта напитка и 20 из них оценили его как вкусный, то мы можем оценить вероятность того, что потребителям понравится новый напиток как 20/1 000 = 0,02. В этом примере 20 — это частота наступления события, а 20/1 000 = 0,02 — это относительная частота.
Относительной частотой событияназывается отношение числа испытаний т, при которых событие появилось, к общему числу проведенных испытаний п.
W(A) == т/п
где т — целое неотрицательное число, 0 £ т£ п.
Статистической вероятностью события Аназывается относительная частота (частость) этого события, вычисленная по результатам большого числа испытаний. Будем обозначать ее Р*(А). Следовательно,
При очень большом числе испытаний статистическая вероятность приближенно равна классической вероятности, т. е.
Для определения вероятности выпадения 1 или 2 при подбрасывании кости нам необходимо только знать «модель игры», в данном случае — кость с 6 гранями. Мы можем определить наши шансы теоретически, без подбрасывания кости, это априорная (доопытная) вероятность. Во втором примере мы можем определить вероятность только по результатам опыта, это — апостериорная (послеопытная) вероятность. То есть классическая вероятность — априорная, а статистическая — апостериорная.
Какой бы вид вероятности ни был выбран, для их вычисления и анализа используется один и тот же набор математических правил.
Свойства вероятности, вытекающие из классического определения.
1. Вероятность достоверного события равна 1, т. е. P(W) =1.
Действительно, если событие А =W, то М = N, значит, Р(W) = N/N = 1.
2. Если событие невозможное, то его вероятность равна 0, т. е. Р(Æ)= 0.
Если А = Æ, то оно не осуществится ни при одном испытании, т. е. М = 0 и Р(Æ) = 0/N = 0.
3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1, т. е. 0£ Р(А) £ 1.
4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т. е. Р(А) + Р() = 1. В самом деле,
Р() = 1 - P(A), следовательно, Р(А)+Р()=1.
Например, если вероятность извлечения туза из колоды, состоящей из 52 карт, равна 4/52, то вероятность извлечения карты, не являющейся тузом, равна1 - 4/52=48/52
При нахождении вероятности классическим способом часто используются формулы комбинаторики.
2. Комбинаторика
При решении задач, заключающихся в определении вероятности, наибольшую трудность представляет подсчет общего числа элементарных исходов, общих и благоприятствующих данному событию. В этом случае полезно обратиться к формулам и правилам комбинаторики.
Комбинаторика происходит от латинского слова «combinatio» — соединение.
Группы, составленные из каких-либо предметов (например, кубиков, букв, чисел и т.п.), называются соединениями (комбинациями, подмножествами, выборками). Предметы, из которых состоят соединения, называются элементами.
Одной из задач комбинаторики является составление различных комбинаций из элементов конечного множества и изучение способов пересчета таких комбинаций, удовлетворяющих тем или иным условиям.
Условно комбинаторика делится на две части:
1) Пусть имеется n различных элементов а1, а2, …аn. Каждый из этих элементов в комбинацию может войти один раз. Это комбинаторика без повторений.
2) Дано n типов элементов: «мешок» элементов типа а1, типа а2, типа а3 и т.д. В каждую комбинацию может войти несколько элементов одного типа. Либо имеется n различных элементов а1, а2, …аn. При этом элемент после выбора снова возвращается в группу. Это комбинаторика с повторениями.
Важнейшими характеристиками комбинаций являются: 1) состав, входящих в них элементов; 2) порядок вхождения элементов в комбинацию.
Различают три типа соединений: размещения, перестановки, сочетания.
При решении задач на нахождение количества комбинаций необходимо:
1) определить тип элементов, входящих в комбинацию;
2) определить, что нас интересует в комбинации: состав элементов, порядок их вхождения в комбинацию или и то, и другое;
3) определить тип соединения и выбрать соответствующую формулу для расчета.
При решении задач на подсчет числа комбинаций в комбинаторике применяются два правила: правило сложения и правило умножения.
Правило сложения: Если элемент А1 может быть выбран n1 способом, элемент А2 – другими n2 способами, А3 – отличными от первых двух n3 способами и т.д., Ак –nk способами, отличными от первых (k-1), то выбор одного из элементов: или А1, или А2, или А3, … или Ак может быть осуществлен n1+n2+n3+…+Ак способами.
Правило произведения: Если элемент А1 может быть выбран n1 способами, после каждого такого выбора А2 может быть выбран n2 способами и т.д., после каждого (k-1) элемент Аk может быть выбран nk способами, то выбор элементов А1, А2,…, Ак в указанном порядке может быть осуществлен n1n2…nk способами.
Размещения.
Размещениями из n элементов по k в каждом называются такие комбинации, которые характеризуются и порядком и составом входящих в них элементов.
Обозначения и формулы вычисления.
- число размещений из n по k без повторений.
- число размещений из элементов n типов по k с повторениями.
Сочетания.
Сочетаниями из n элементов по k в каждом называются такие комбинации, которые характеризуются только составом входящих в них элементов.
Обозначения и формулы вычисления.
, где 0≤ k ≤ n- число сочетаний из n по k без повторений.
- число сочетаний из элементов n типов по k с повторениями.
Перестановки.
Перестановками из n элементов называются такие комбинации, которые характеризуются только порядком входящих в них элементов при фиксированном в них составе.
Обозначения и формулы вычисления.
Число перестановок из n элементов это то же самое, что число размещений из n элементов по n в каждом, поэтому
Pn = n·(n-1)·(n-2)…2·1= n! —число перестановок из n без повторений.
- число перестановок с повторениями из k1 элементов первого типа, k2 элементов второго типа, … kn элементов n типа.
Замечание.Между размещениями, сочетаниями и перестановками можно установить связь по следующей формуле
Геометрическое определение вероятности.
Пусть в результате испытания возможно бесконечное число исходов. При этом исходы несовместны и ни один из них не имеет преимущества перед другими. Для решения задачи о вероятности используется геометрическая интерпретация вероятности. В данном случае Ω представляет собой подмножество пространства R1(числовой прямой), R2(плоскости), Rn (n-мерного евклидова пространства). В пространстве R1 в качестве подмножеств будем рассматривать лишь промежутки или их объединения, то есть подмножества, которые имеют длину, в пространстве R2 — площадь, в R3 — объем и т.д.
Под мерой μ(А) подмножества А будем понимать его длину, площадь или объем в зависимости от того, какому пространству принадлежит Ω. Будем считать, что пространство элементарных исходов Ω имеет конечную меру, а вероятность попадания «случайно брошенной» точки в любое подмножество Ω пропорциональна мере этого подмножества и не зависит от его расположения и формы.
Вероятностью события А в этом случае называется число Р(А), равное отношению меры множества А к мере множества Ω:
Геометрическое определение вероятности сохраняет свойства, рассмотренные в классической схеме.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Тема Элементы теории вероятностей... Математические модели финансовой математики носят вероятностный характер...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Вероятность события
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов