Распределение Пуассона.

Закон Пуассона называют законом редких событий, поскольку он проявляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит «редкое» событие. Например, число телефонных вызовов, поступивших на коммутатор за некоторый промежуток времени, число несчастных случаев, произошедших в городе за некоторый промежуток времени и т.д.

Распределение Пуассона можно описать с помощью следующей математической модели. Пусть событие А происходит многократно с течением времени, то есть имеет место поток однородных событий, который удовлетворяет следующим условиям:

1) Поток стационарен, то есть вероятность попадания k событий в промежуток времени (t; t+τ) зависит только от числа событий k и длины промежутка τ, но не зависит от начала t. Это означает, что математическое ожидание числа событий в единицу времени (плотность потока) постоянно.

2) Поток без последствия, то есть вероятность попадания k событий в промежуток времени (t; t+τ) не зависит от числа и появления событий до момента времени t, то есть имеет место взаимная независимость появления того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени.

3) Поток ординарен, то есть вероятность попадания двух и более событий в промежуток времени (t; t+τ) пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события в этот промежуток, то есть вероятность одновременного появления двух и более событий равна нулю.

Поток событий, удовлетворяющий условиям 1)–3) называется простейшим. Плотность простейшего потока обозначим μ.

Вероятность того, что событие А в промежутке времени τ осуществится х раз, равна

,

где λ=μτ – среднее число событий, происходящих в промежутке времени τ.

Числовые характеристики: МХ= DX=λ, σ(X)=

Теорема о связи биномиального распределения с законом Пуассона.

Пусть таким образом, что произведение np остается постоянным и равным некоторому числу λ>0. Тогда вероятность того, что случайная величина, распределенная по биномиальному закону, примет значение, равное m, стремится к вероятности этого же события, вычисленной по закону Пуассона с параметром λ=np, то есть

.

Замечание. Если распределение Пуассона применяется вместо биномиального, то n должно иметь порядок не менее нескольких десятков, лучше нескольких сотен, а np<10.