Нормальное распределение.

Нормальное (Гауссово) распределения было открыто тремя учеными в разное время: Муавром в 1737 г. в Англии, Гауссом в 1809 г. в Германии и Лапласом в 1812 г. во Франции.

Оно возникает обычно, когда СВ Х представляет собой суму большого числа независимых СВ, каждая из которых в образовании суммы играет незначительную роль.

Нормальное распределение является предельным случаем почти всех реальных распределений вероятности. Оно широко используется в математической статистике, в частности, в моделях регрессии часто ошибка принимается распределенной по этому закону; предпосылка о нормальном распределении учитывается и в большинстве критериев статистической проверки гипотез.

Многие экономические показатели имеют близкий к нормальному закон распределения. Например, доход населения, прибыль фирм в отрасли, объем потребления и т.д. имеют близкое к нормальному распределение. Однако само нормальное распределение в экономике не используется, оно имеет чисто математический интерес.

Говорят, что СВ имеет нормальное распределение, если функция плотности вероятности имеет вид: , где МХ=а– параметр расположения, σ>0 – параметр масштаба. Чем меньше σ, тем круче график.

Функция распределения – функция интеграла Лапласа.

График плотности вероятности нормально распределенной случайной величины называют палаткой Эйлера.

Если а = 0 и σ=1, то говорят о стандартизированном нормальном распределении с плотностью распределения. Эта функция четная и табулированная.

Функция распределения также табулирована и обладает следующими свойствами:

1) Ф(х)=0;

2) Ф(-х)=-Ф(х);

3) Ф(-∞)=Ф(+∞)=0,5.

Для расчета вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в промежуток от α до β используется формула: . Эту формулу иногда называют интегральной теоремой Лапласа.

В частности, для симметричного относительно математического ожидания промежутка (МХ-Δ,МХ+Δ) можно использовать формулу .

С вероятностью, очень близкой к единице, все возможные значения нормально распределенной случайной величины сосредоточены на отрезке [а-3σ;а+3σ]. Это так называемое правило трех сигм: Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. При р≠0 и р≠1 и достаточно большом n биномиальное распределение близко к нормальному закону, причем их математические ожидания и дисперсии совпадают, т.е. имеет место равенство:

.

Числовые характеристики. Мо=а

Ме=а