МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ
ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ
Конспект лекцій з курсу
ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА ЕЛЕМЕНТИ
МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ “
Розділ “ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ”.
Харків ХДТУБА 1999
ЗМІСТ
Передмова.................................................................................................... 3
1. Основні поняття теорії ймовірностей..................................................... 4
1.1. Випадкові події та їх алгебра 4
1.1.1. Первісні поняття. Подія 4
1.1.2. Алгебра випадкових подій. 7
1.2. Аксіоми та властивості ймовірності 9
1.2.1. Частота та ймовірність випадкової події 9
1.2.2. Аксіоми ймовірності та її властивості. 10
1.2.3. Принцип практичної вірогідності 11
1.3. Теорема множення та її наслідки 12
1.3.1. Умовна ймовірність 12
1.3.2. Формула повної ймовірності 15
1.3.3. Теорема гіпотез (формули Бейєса) 18
1.4. Випробування із скінченною кількістю наслідків 20
1.4.1. Класичне означення ймовірності 20
1.4.2. Комбінаторні методи підрахунку кількості наслідків 21
1.5. Повторні випробування 26
1.5.1. Схема Я.Бернуллі. Узагальнення А.Маркова 26
1.5.2. Асимптотичні формули для схеми Бернуллі. 29
2. Випадкові величини.............................................................................. 32
2.1. Одновимірні випадкові величини 32
2.1.1. Випадкова величина та її функція розподілу 32
2.1.2. Дискретні випадкові величини 33
2.1.3. Неперервні випадкові величини 35
2.1.4. Перетворення розподілів 41
2.2. Випадкові вектори 43
2.2.1. Функція розподілу випадкового вектора 43
2.2.2. Дискретний випадковий вектор 44
2.2.3. Неперервний випадковий вектор 45
2.2.4. Найважливіші види двовимірних розподілів. 48
2.2.5. Закон розподілу суми випадкових величин 54
2.2.6. Ентропія і інформація 56
3. Числові характеристики випадкових величин..................................... 59
3.1. Математичне сподівання та його властивості 59
3.1.1. Стійкість середнього арифметичного 59
3.1.2. Математичне сподівання випадкової величини 59
3.1.3. Математичне сподівання функції випадкової величини 61
3.1.4. Математичне сподівання функції випадкового вектора 62
3.1.5. Кореляційний момент випадкових величин 64
3.2. Дисперсія випадкової величини 65
3.2.1. Дисперсія випадкової величини та її властивості 65
3.2.2. Дисперсія суми випадкових величин 69
3.2.3. Нерівність П.Чебишева 72
3.3. Кореляція 74
3.3.1. Коефіцієнт кореляції та кореляційна матриця 74
3.3.2. Регресія 77
3.4. Прикладні задачі 79
3.4.1. Теорія масового обслуговування. 79
3.4.2. Найпростіші задачі теорії надійності 85
Додатки...................................................................................................... 88
Таблиця 1. 88
Таблиця 2. 89
Таблиця 3. 90
Таблиця 4. 91
Таблиця 5. 92
Література................................................................................................. 94
Основні поняття теорії ймовірностей
Випадкові події та їх алгебра
Аксіоми та властивості ймовірності
Принцип практичної вірогідності
Застосування результатів теорії ймовірності грунтується на такому принципі: якщо ймовірність настання події A достатньо близька до 1, то при одноразовому проведенні випробування слід знехтувати можливістю настання події`A. У цих умовах A та`A називають відповідно практично вірогідною та практично неможливою подіями.
Визначення тієї межі, починаючи з якої подію слід вважати практично неможливою, знаходиться за рамками теорії ймовірностей. Ясно, що чим більші збитки може принести нехтування можливості настання події, тим меншою повинна бути межа. Наприклад, межа 0.001 достатня для того, щоб вважати практично неможливим перегорання нової електричної лампочки, але абсолютно недопустима для того, щоб вважати практично неможливою аварію на АЕС. (Збитки, до яких може привести один із тисячі випадків незрівнянно вищі, ніж вигода, одержана у 999 випадках).
Теорема множення та її наслідки
Випробування із скінченною кількістю наслідків
Повторні випробування
Схема Я.Бернуллі. Узагальнення А.Маркова
Багато прикладних задач (наприклад, контроль якості) зводяться до слідуючої схеми.
Розглядається серія із n незалежних випробувань з двома можливими наслідками, в кожному з яких подія A може відбуватись з імовірністю p (випробування незалежні, якщо ймовірність будь-якого наслідку будь-якого випробування не залежить від того, які були наслідки інших випробувань). Нехай Aj (j=1,2,...,n) позначає подію, що означає наставання події A у j-му випробуванні. Тоді кожну з 2n елементарних подій серії можна зобразити у вигляді добутку n множників, кожен з яких дорівнює Aj або .
Теорема. Ймовірність pn(k) того, що у серії з n випробовувань подія настає k раз, задається рівністю
. (1)
Доведення. Події, що нас цікавить, сприяють ті елементарні події, у яких події Aj спостерігаються k раз, а події`– (n – k) раз (наприклад, , і т.п.). В силу незалежності подій Aj ймовірність кожної такої елементарної події на підставі теореми множення ймовірностей дорівнює pk(1– p)n-k. Оскільки подібних елементарних подій буде , то з урахуванням їх несумісності і теореми додавання ймовірностей остаточно одержимо
.
Приклад 1. Точки та тире телеграфного коду спотворюються незалежно одне від іншого з ймовірністю 0.12. Знайти ймовірність події, яка полягає у тому, що в слові з п’яти символів буде спотворено: а) два символи; б) не більше одного символу.
Розв’язок. Задача зводиться до схеми Бернуллі при n=5 і p=0.12.
а) k=2 і на підставі формули (1) маємо
·0.122·0.883= 0.098;
б) k=0 або k=1 і тому ймовірність дорівнює
P5(0)+ P5(1)= 0.885+ 5·0.12·0.884=0.5377+ 0.3598= 0.888.
Приклад 2. На кожному з двох крил літака установлені по два двигуни, кожен з яких може вийти з ладу під час польоту незалежно один від одного з імовірністю p=0.1. Яка ймовірність того, що політ закінчиться нормально, якщо: а) літак може летіти на будь-яких двох двигунах; б) літак може летіти при умові, що на кожному крилі працює хоча б один двигун.
Розв’язок. Позначимо через A подію, яка полягає у тому, що політ закінчиться нормально.
а) Нехай Dk – подія, яка полягає у тому, що під час польоту вийдуть із ладу лише k (k= 0,1,2,3,4) двигуни. Тоді , де події D3 і D4 несумісні. Таким чином, . При обчисленні P(D3) і P(D4) скористаємося схемою Бернуллі при n=4 і p=0.1:
P(D3)= p4(3)= ·p3 ·(1– p)= 4·(0.1)3·0.9= 0.0036;
P(D4)= p4(4)= ·p4 ·(1– p)0=4·(0.1)4=0.0001.
Тому P(A)=1–P()=1– 0.0036– 0.0001=0.996.
б) Нехай Пk (Лk) – подія, яка полягає у тому, що під час польоту на правому (лівому) крилі вийдуть із ладу лише k (k= 0,1,2) двигуни.
Тоді подію A можна представити у вигляді суми несумісних подій: A=П1·Л0+П0·Л1+П1·Л1+П0·Л0. При обчисленні P(П0)=P(Л0) і P(П1)=P(Л1) скористаємося схемою Бернуллі при n=2 і p=0.1:
P(П0)=p2(0)=·p0 ·(1– p)2=(0.9)2=0.81;
P(П1)=p2(1)=·p·(1– p)=2·0.1·0.9=0.18.
Таким чином, з урахуванням незалежності подій Пk і Лj одержимо:
P(A)=P(П1)·P(Л0)+P(П0)·P(Л1)+P(П1)·P(Л1)+P(П0)·P(Л0)=
= 0.18·0.81+0.81·0.18+0.18·0.18+0.81·0.81= 0.98.
Важливим узагальненням схеми Бернуллі є схема однорідного ланцюга А.Маркова. У цьому випадку припускаємо, що ймовірність будь-якого наслідку у j-му випробуванню залежить лише від наслідку попереднього (j-1)-го випробування, але не залежить ні від j (номера випробування) ні від наслідків випробувань з номерами j–2, j–3,...,1. Введемо позначення:
, , , .
Якщо подіям A та поставити у відповідність стани E1 та E2 деякої системи, то граф переходу цієї системи з одного стану в інший матиме вигляд, показаний на малюнку 1.16. Вершинами графа є стани системи, а стрілка з числом pik, що йде з вершини Ei у вершину Ek, означає, що умовна ймовірність переходу із стану Ei у стан Ek дорівнює pik. У цьому випадку числа pik називаються ймовірностями переходу зі стану Ei у стан Ek, а матриця – матрицею перехідних ймовірностей. (У випадку послідовності незалежних випробувань матриця перехідних ймовірностей має вигляд ).
Позначимо через ймовірність переходу зі стану Ei у стан Ek за n випробувань, а через – матрицю переходу за n випробувань. Із формули повної ймовірності випливає співвідношення
.
Можна показати, що якщо всі елементи pik матриці перехідних ймовірностей P додатні, то при n → ∞ існують і не залежать від початкового стану Ei границі ймовірностей переходу :
.
Випадкові величини
Одновимірні випадкові величини
Випадкові вектори
Числові характеристики випадкових величин
Математичне сподівання та його властивості
Дисперсія випадкової величини
Кореляція
Прикладні задачі
Додатки
Література
1. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Специальные курсы. Под редакцией А.В.Ефимова, Москва, «Наука». Гл.редакция физ-мат. лит-ры, 1984.
2. Теория вероятностей и математическая статистика. И.Н.Коваленко, А.А.Филиппова. М, Висшая школа, 1982.
3. Теория вероятностей и математическая статистика. И.И.Гихман, А.В.Скороход, М.И.Ядренко. Киев, Вища школа, 1988.
4. Введение в теорию вероятностей и математическую статистику, Е.З.Могульский. ХВВАУРЭ, Харьков, 1988.