Коефіцієнт кореляції та кореляційна матриця - Конспект, раздел Философия, Конспект лекцій з курсу ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА ЕЛЕМЕНТИ Означення 1. Коефіцієнтом Кореляції RX,Y...
Означення 1. Коефіцієнтом кореляції rX,Y випадкових величин X та Y називається число
. (1)
Коефіцієнт кореляції є безвимірною величиною. Абсолютна величина коефіцієнта кореляції змінюється від нуля (X та Y некорельовані, але можуть бути зв’язаними функціональною залежністю, відмінною від лінійної) до одиниці (X та Y зв’язані лінійно – Y=kX+l): 0£ |rX,Y | £ 1. Якщо rX,Y >0 (додатна кореляція, прямий зв’язок), то X і Y мають тенденцію зростати і спадати одночасно. Наприклад, додатна кореляція існує між продуктивністю праці та заробітною платою, між зростом людини та її вагою. Якщо rX,Y < 0 (від’ємна кореляція, обернений зв’язок), то при зростанні однієї випадкової величини інша має тенденцію спадати і навпаки. Наприклад, від’ємна кореляція спостерігається між продуктивністю праці та вартістю одиниці продукції, між об’ємом продукції та затратами на один виріб.
Наведемо типові діаграми зв’язку між величинами X та Y при різних значеннях rX,Y (мал.3.4).
Коефіцієнт кореляції є лише мірою лінійної залежності. Чим ближчий коефіцієнт кореляції по модулю до одиниці, тим сильніше залежність X і Y нагадує лінійну і навпаки.
Мірою залежності коефіцієнт кореляції є тільки тоді, коли випадковий вектор розподілений за законом Гауса (формула (9) розділу 2.2). У цьому випадку можна показати, що rX,Y=r. Тоді рівність rX,Y =0 означає r=0. Але при r=0 закон (9) розділу 2.2 переходить у закон (10) розділу 2.2, що відповідає незалежності X і Y.
Закон Гауса: некорельованість Û незалежність
Означення 2. Кореляційною матрицею (матрицею коваріації) випадкового вектора називається симетрична матриця K другого порядку, елементами якої є Kij=K(Xi,Xj):
. (2)
Можна показати, що вектор математичного сподівання і кореляційна матриця для закону Гауса (формула (9) розділу 2.2) мають вигляд:
.
Введемо у розгляд вектор . Тоді закон Гауса (9) можна записати у стислому вигляді:
, (3)
де T – операція транспонування, K–1 – матриця, обернена до K, detK - визначник матриці K.
Форма запису (3) справедлива і для n-вимірних нормальних розподілів (X1; X2; …; Xn). У цьому випадку
матриця K є симетричною матрицею n-го порядку
.
Крім того, число (2p)2 під радикалом у формулі (3) потрібно замінити на (2p)n.
Приклад 1. В умовах прикладу 1 пункту 3.1.5 знайти коефіцієнт кореляції і кореляційну матрицю випадкових величин X і Y.
Розв’язок. Знайдемо дисперсію X і Y:
.
Використавши формули (1) та (2), одержимо:
.
Приклад 2. Випадкові величини X1, X2, X3, X4, X5 - попарно некорельовані і мають однакові дисперсії s2. Знайти коефіцієнти кореляції випадкових величин: 1) Y1=X1+X2; Y 2=X3+X4+X5; 2) Y 3=X1+X2+X3; Y 4=X1+X3+X5.
Розв’язок.
1)
;
2)
.
Внаслідок формули (5) розділу 3.2 одержимо DY3=DY4=3s2. Отже, на підставі формули (1) .
ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ... Конспект лекцій з курсу...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Коефіцієнт кореляції та кореляційна матриця
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Передмова
Конспект лекцій підготовано для студентів технічних ВУЗ’ів. При його створенні ставилася задача відібрати матеріал, який можна викласти за час, відведений учбовим планом на курс теорії ймовірності
Первісні поняття. Подія
Теорія ймовірностей вивчає математичну модель випробування (досліду, експерименту), наслідок якого неможливо передбачити. При цьому припускається, що таке випробування може бути повторено необмежен
Частота та ймовірність випадкової події
Ймовірність події A – це число, яке характеризує можливість (долю впевненості) появи цієї події в розглядуваному випробуванні (досліді, експерименті). Іноді ймовірність того чи іншого резуль
Аксіоми ймовірності та її властивості.
Означення 1. Ймовірністю називається числова функція P(A), визначена на множині всіх подій, пов’язаних з даним експериментом, яка задовольняє таким аксіомам:
1. P(A) ³ 0;
2.
Умовна ймовірність
Нехай АтаB є подіями, пов’язаними з деяким випробуванням і P(B)>0.
Означення 1. Умовною ймовірністю P(АïB) події А за умови здійснення події B називається відношення
Формула повної ймовірності
Часто для вивчення випробування, з яким пов’язана подія A, корисно ввести до розгляду події Hk, дл
Класичне означення ймовірності
Розглянемо випробування, простір якого складається з N точок (випробування із скінченою кількістю наслідків). Якщо ймовірності елементарних подій відомі, то ймовірність будь-якої події A у випробув
Комбінаторні методи підрахунку кількості наслідків
Для того, щоб знайти ймовірність події за формулою (1), потрібно знати і загальну кількість наслідків випробування і число наслідків, які сприяють настанню цієї події. Суттєву роль при підрахунках
Асимптотичні формули для схеми Бернуллі.
Формула (1) приводить до громіздких обчислень при великих значеннях n і k, а також при малих значеннях p або 1– p. Тому, доцільно мати наближені, але прості формули для розрахунку відповідних ймові
Випадкова величина та її функція розподілу
Означення 1. Одновимірною випадковою величиною називається величина, значення якої залежить від наслідку експерименту (інакше кажучи, випадковою величиною називається числова функція, яка визначена
Дискретні випадкові величини
Випадкова величина X називається дискретною, якщо: 1) сукупність її можливих значень можна перерахувати – x1, x2,..., xn (або x
Неперервні випадкові величини
Випадкова величина X називається неперервною, якщо: 1) множина її значень співпадає з проміжком (кількома проміжками) числової осі; 2) ймовірність того, що випадкова величина набуває будь-як
Перетворення розподілів
Нехай розподіл випадкової величини X є відомим. Потрібно знайти розподіл випадкової величини Y, яка пов’язана з функціональною залежністю Y=g(X) (Y приймає значення g(
Функція розподілу випадкового вектора
Якщо кожний наслідок випробування задається упорядкованою сукупністю n випадкових величин, то прийнято говорити про n-вимірний випадковий вектор. Виявляється, що для повного опису ви
Закон розподілу суми випадкових величин
Теорема. Нехай випадкові величини X та Y незалежні та мають щільності ймовірностей pX(x) і pY(y). Тоді щільність ймовірності випадков
Ентропія і інформація
Нехай – випадковий вектор.
Означення 1. Інформацією, яка міститься в координаті Y по відношен
Стійкість середнього арифметичного
Повну інформацію про випадкову величину дає її розподіл ймовірності. Проте часто експериментатор не володіє такою інформацією, та вона і не є необхідною. Досить охарактеризувати випадкову величину
Математичне сподівання випадкової величини
Означення 1. Математичним сподіванням випадкової величини X називається число MX, яке в залежності від типу випадкової величини визначається формулою
Кореляційний момент випадкових величин
Означення 1. Кореляційним моментом (кореляцією, коваріацією) K(X,Y) випадкових величин X та Y називається число
K(X,Y)=M
Дисперсія випадкової величини та її властивості
Після того, як математичне сподівання випадкової величини знайдено, виникає питання, наскільки сильно значення випадкової величини відхиляється від математичного сподівання. Характеристикою ступен
Дисперсія суми випадкових величин
Теорема. 1) Якщо випадкові величини X та Y корельовані (отже, залежні), то
D(X+Y)=DX+DY+2K(X,Y); (4)
2) Якщо випадкові вели
Нерівність П.Чебишева
Нерівність П.Чебишева встановлює верхню межу для ймовірності відхилення випадкової величини від її математичн
Регресія
Якщо ми знаємо розподіл однієї координати випадкового вектора при умові, що інша координата приймає певне значення, то можна ввести поняття умовного математичного сподівання.
Означення 1.
Теорія масового обслуговування.
Ця теорія є одним з найважливіших розділів прикладної теорії ймовірності. Теорія масового обслуговування вивчає функціонування систем, у які поступають виклики (вимоги) на обслуговування. Моменти н
Найпростіші задачі теорії надійності
Головне питання теорії надійності полягає в визначенні ймовірнісних характеристик працездатності системи, якщо відома її структура і ймовірносні характеристики працездатності окремих елементів.
. (1)
розподілений за законом Гауса (формула (9) розділу 2.2). У цьому випадку можна показати, що rX,Y=r. Тоді рівність rX,Y =0 означає r=0. Але при r=0 закон (9) розділу 2.2 переходить у закон (10) розділу 2.2, що відповідає незалежності X і Y.
називається симетрична матриця K другого порядку, елементами якої є Kij=K(Xi,Xj):
. (2)
.
. Тоді закон Гауса (9) можна записати у стислому вигляді:
, (3)
(X1; X2; …; Xn). У цьому випадку
.
.
.
;
.
.
Новости и инфо для студентов