Связь между теплоемкостями при постоянном давлении и постоянном объеме.

Возьмем внутреннюю энергию как функцию объема и температуры:

U = f (V, T)

Запишем полный дифференциал этой функции

(24)

и подставим его значение в выражение для первого закона термодинамики (15):

. (25)

Предположим, что процесс происходит при постоянном объеме (dV = 0), тогда

. (26)

С другой стороны, из выражения (22):

Следовательно

С учетом этого выражение для первого закона термодинамики (25) примет вид

. (27)

Если процесс идет при постоянном давлении из формулы (21) получим:

Подставляя это значение в формулу (27), получаем соотношение

. (28)

Преобразуем выражение (28):

Учитывая, что при p = const, окончательно получим:

(29)

Соотношение (29) устанавливает связь между теплоемкостями c_p и c_V и частными производными:

и

В выражении (24) первое слагаемое характеризует изменение сил взаимодействия между молекулами, второе слагаемое представляет изменение кинетической энергии молекул. Так как в идеальном газе силы взаимодействия между молекулами отсутствуют, первое слагаемое равно нулю, и соотношение (24) упрощается:

(30)

В интегральном виде выражение (30) примет вид:

Для идеального газа из формулы (29) получим разность теплоемкостей:

(31)

Для многих твердых тел объем незначительно изменяется с повышением температуры. Поэтому в практических расчетах для этих тел можно принять c_p = c_V. Для газов это не так.

Найдя из уравнения состояния идеального газа (6) и подставляя в равенство (31), получим:

c_p – c_V = R_г (32)

Это уравнение Майера. Оно показывает, что удельная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении больше удельной теплоемкости при постоянном объеме на величину газовой постоянной.

Так как R_г > 0, то c_p > c_v.

Отношение удельных теплоемкостей называется коэффициентом Пуассона.

Политропные процессы – это процессы, происходящие при постоянной теплоемкости, вызываемые подводом тепла к термодинамической системе или отводом тепла от нее.

В общем виде все политропные процессы описываются уравнением политропы:

p Vⁿ = const, (33)

где n – показатель политропы, .

Работа политропного процессаопределяется выражением:

Выразим давление из уравнения политропы (33)

и подставим его значение под знак интеграла. Здесь буквой С обозначена константа в выражении (35). Вынося константу за знак интеграла, получим:

Подставляя значение константы С из уравнения (33), получим окончательное выражение для работы политропного процесса:

. (34)

Количество тепла в политропном процессе:

Q = m c (T₂ – T₁). (35)

Изменение внутренней энергии:

ΔU = m c_v (T₂ – T₁) . (36)

Изменение энтальпии:

ΔI = m c_p (T₂ – T₁). (37)

Рассмотренные ранее изопроцессы, протекают при постоянной теплоемкости, и потому являются политропными.

 

p

Изохорный процесс

V = const, c = c_v

Показатель политропы для изохорногопроцесса:

(38)

Рис. 5. Изохорный процесс в газе

Устройство, в котором реализуется изохорный процесс, представляет собой сосуд с неподвижно закрепленным поршнем.

В изохорном процессе работа δL = p dV равна нулю. Значит, все подводимое к газу тепло расходуется на изменение его внутренней энергии.

ΔQ = dU = m c_v dT

p

р = const

Изобарный процесс

p = const, c = c_p.

2/

1/

v

Рис. 6. V – p диаграмма изобарного процесса

Работа в изобарном процессе равна:

L = p (V₂ – V₁) и равна площади

фигуры 1 - 2 – 2^/- 1^/.

Из первого закона термодинамики при p = const:

Q = U₂ – U₁ + p (V₂ – V₁) =

(U₂ + pV₂) – (U₁ + pV₁) = I₂ – I₁

То есть, в изобарном процессе внешняя теплота расходуется на изменение энтальпии газа.

Изотермический процесс

p = const, c = c_т.

Рис. 7. Изотермический процесс

Следовательно, уравнение политропы для

изотермического процесса:

В системе координат p – V изотерма.

Представляет собой кривую, которая называется гиперболой.

Работа изотермического процесса не может быть определена из выражения для работы политропного процесса, так как при n = 1 выражение (38) обращается в бесконечность. Получим выражение для работы в изотермическом процессе исходя из общего выражения для работы расширения:

Из уравнения политропы для изотермического процесса (закон Бойля – Мариотта)

, где константа C = p₁V₁ = p₂V₂. Тогда

(39)

Изменения внутренней энергии и энтальпии в изотермическом процессе равны нулю.

dU = 0, dI = 0