Теоретические основы параметрических методов обработки экспериментальных данных
Теоретические основы параметрических методов обработки экспериментальных данных
Основные понятия
Параметрические методы обработки экспериментальных данных опираются на основополагающий факт, в соответствии с которым свойства результатов экспериментальных исследований, рассматриваемых как случайные объекты, описываются некоторым законом распределения. При этом предполагается, что анализ экспериментальных данных позволяет с достаточной степенью точности определить вид и конкретную форму закона распределения или значения его параметров, если нет необходимости в использовании самого закона. Такая информация даёт возможность в полном объёме использовать методы теории вероятностей для решения задач обработки.
Так как действительный закон распределения и значения его параметров неизвестны, то параметрические методы оперируют с их приближениями – статистическими законами распределения и оценками параметров распределения.
Статистическим законом распределения случайной величины 
называется закон распределения данной величины, установленный с помощью статистических методов обработки данных.
Статистический закон распределения может быть определён в виде статистической функции распределения 
, статистической плотности распределения 
или статистического ряда распределения P*(xi), 
.
Статистическими оценками параметров закона распределения случайной величины называются приближённые значения данных параметров (статистики), полученные с помощью статистических методов обработки данных.
В дальнейшем статистические оценки для краткости называются просто оценками.
Если некоторый закон распределения характеризуется параметрами a1, a2,…, am, то их оценки будем обозначать в виде 
, 
,…,
. Наиболее распространёнными видами параметров законов распределения при обработке экспериментальных данных являются математическое ожидание 
, дисперсия 
или среднее квадратическое отклонение 
, а для системы случайных величин – корреляционный момент 
или коэффициент корреляции 
. Иногда используются центральные моменты третьего и четвёртого порядков. Соответственно при обработке данных используются их статистические аналоги – оценки математического ожидания, корреляционного момента и т.д.
Таким образом, если имеется совокупность экспериментальных данных x1, x2,…, xn, то и статистический закон распределения, например функция , и оценки его параметров представляют собой некоторые функции этих данных:
; (2.1.1)
, 
. (2.1.2)
Вид статистик y и fj определяет качество оценок и 
. В связи с этим возникает ряд проблем, основной из которых является проблема определения условий, при которых оценки (2.1.1) и (2.1.2) могут с требуемой достоверностью представлять теоретические законы распределения и их параметры. Эти условия формируются предельными теоремами теории вероятностей. Именно они служат тем фундаментом параметрических методов обработки экспериментальных данных, на основе которого могут быть получены подходящие оценки законов и параметров распределения наблюдаемых характеристик.
Вторая проблема состоит в выборе достаточной статистики, т.е. такой статистики, которая позволяет в конкретных условиях получать оценки заданного качества. Так как на основе результатов наблюдений x1, x2,…, xn может быть образован большой спектр статистик (2.1.1) и (2.1.2), данная проблема сводится к выбору из них оптимальной в определённом смысле статистики. Решение проблемы осуществляется методами теории статистических решений.
Как видно из рис.1.1, к проблеме принятия решений при обработке экспериментальных данных сводится не только задача выбора достаточной статистики. Большинство задач обработки данных в разной степени может быть отнесено к задачам принятия решений. В связи с этим фундаментом параметрических методов обработки служат также принципы принятия статистических решений, на основе которых сформированы критерии принятия оптимальных в определённом смысле решений. Особую роль среди данных принципов играет принцип максимального правдоподобия и вытекающий из него для случая нормального закона распределения метод наименьших квадратов.
В настоящей брошюре рассматриваются вопросы параметрической обработки экспериментальных данных.
Предельные теоремы теории вероятностей
Использование параметрических методов обработки данных предполагает выявление условий, определяющих справедливость априорных предположений о виде закона распределения исследуемой случайной величины и свойствах его параметров. Эти условия формулируются в виде предельных теорем теории вероятностей. Ниже излагаются содержание и сущность теорем без доказательства, а также некоторые рекомендации по их практическому применению.
Теорема Ляпунова
Теорема. Если последовательность независимых случайных величин , ,…, удовлетворяет условию Ляпунова , где – третий абсолютный центральный момент, то последовательность случайных величинТеорема Муавра-Лапласа
Теорема. Пусть число появлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность этого события равна p. Тогда при n ® ¥… где q = 1– p; , – соответственно математическое ожидание и дисперсия биномиально распределённой случайной величины. …Неравенство Чебышева
. (2.2.13) Для противоположного события неравенство Чебышева принимает вид . (2.2.14)Теоремы Чебышева и Маркова
. (2.2.15) Из (2.2.15) и (2.2.1) следует, что при ограниченном n справедливо приближённое… , (2.2.16)Теорема Бернулли
, где – число появления события A в n испытаниях. При n ® ¥ согласно теореме Ляпунова можно считать, что случайная величинаЭлементы теории статистических решений