Правило дифференцирования. Таблица дифференцирования основных элементарных функций. 7
ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ
ТЕМА «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 4
Глава 1. Производная 5
§ 1 Определение производной. 5
§ 2. Правило дифференцирования. Таблица дифференцирования основных элементарных функций. 7
§ 3.Геометрическое, механическое и экономическое приложения производной. 16
§ 4.Задачи для самостоятельной работы. 19
Глава 2 Приложения производной.21
§ 1.Дифференциал функций. 21
§ 2.Правило Лопиталя. 23
§ 3.Возрастание и убывание функций. Экстремум функции. 24
§ 4.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. 28
§ 5.Выпуклость графика функции. Точки перегиба. 29
§ 6.Исследование функций и построение их графиков. 31
§ 7.Задачи для самостоятельной работы. 36
ВВЕДЕНИЕ
Данная работа предназначена для студентов экономических специальностей ТГУСа; может быть полезна для всех категорий студентов, изучающих курс «Математика». Рассматривается раздел «Дифференциальное исчисление». В данной части излагаются темы: производная, приложение производной.
В каждом параграфе изложен теоретический материал, содержатся типовые задачи с решениями и для практических заданий, позволяющие достаточно полно охватить учебный материал. В последних параграфах каждой главы приводятся задачи для самостоятельного решения. В работе имеется подборка заданий для расчетно-графической работы по разделу «Дифференциальное исчисление». Кроме того, излагается тестовый материал для самостоятельной проверки усвоения знаний.
Пособие должно помочь студенту для самостоятельного изучения материала, когда он что-то не усвоил на практических занятиях, какие-то занятия пропустил.
Нумерация задач единая по каждой главе. Конец решения задачи обозначается знаком ►.
Глава 1. ПРОИЗВОДНАЯ
Определение производной.
Производной функциив точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю… Производную функции обозначают одним из символов . Производная функции в точке может быть вычислена по одной из формул:Функция, имеющая производную в каждой точке интервала называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Значение производной функции 
в точке 
обозначается одним из символов 
3.Если функция дифференцируема в точке 
(или на множестве 
), то она в этой точке (или на множестве ) непрерывна. Если функция непрерывна в точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.
1.1. Используя определениепроизводной,найти производную функции 
.
Решение. Придавая аргументу 
приращение 
, найдем приращение функции:
.
Найдем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при 
:
.
Таким образом: 
. ►
1.2.Доказать, что функция
непрерывна,но не дифференцируема в точке 
.
Решение.
1. Функция определена на всей числовой оси,причем
. Предел функции при , стремящимся к нулю, равен значению функции в нуле:
. Поэтому функция непрерывна в точке
2.Составим отношение
Производная функции в точке
.
Предел зависит от знака :
,
Тогда 
. Поэтому 
не существует и функции не дифференцируема в точке ►
1.3.Доказать, что функция 
не дифференцируема в точке .
Решение. Функция определена в любой окрестности точки . Производная функции
т.е. функция не является дифференцируемой в точке . ►
Используя определения производной, найти производную функций;
1.4.
1.6. 
1.5. 
1.7. 
Доказать, что функция непрерывна и дифференцируема при
1.8.
1.9.
Правила дифференцирования
Таблица дифференцирования основных элементарных функций
Дифференцирование явных функций.
-постоянная, - дифференцируемые функции: (2.1) (2.2)Производная сложной функции.
Если и дифференцируемы, то (2.5) Логарифмическая производная.Логарифмическая производная используется при… .Таблица дифференцирования основных элементарных функций
(2.7)
(2.8)
(2.9) (используем формулы 
(2.10)
( 2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
(2.18)
(2.19)
(2.20)
(2.21)
Дифференцирование неявной функции.
Если неявная функция задана уравнением , то для нахождения производной по достаточно продифференцировать это уравнение по , рассматривая при этом…Дифференцирование функций, заданных параметрически.
где - вспомогательная переменная, называемая параметром. Не выражая явноот ,… (2.22)Производные высших порядков.
(2.23) Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.… .Геометрическое, механическое и экономическое приложения производной
1. Геометрический смысл производной.Если кривая задана уравнением , то 
есть угловой коэффициент касательной к кривой в точке .
Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:
, (3.1)
а уравнение нормали
(3.2)
Механический смысл производной.Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону , где - пройденный путь, - время. Скоростьизменения пути в момент равна . Ускорениеточки в момент равно.
3. Экономический смысл производной.Пусть 
выражает объем производимой продукции за время 
. Производная объема произведенной продукции по времени 
есть производительность трудав момент 
.
Эластичностьфункции определяется с помощью соотношения
(3.3)
Эластичность функции приближенно показывает, на сколько процентов изменится одна переменная в результате изменения другой переменной на 1%.
Если эластичность спроса (по абсолютной величине) 
, то спрос считается эластичным, если 
- нейтральным, если 
- неэластичным относительно - цены (или дохода).
3.1.Составить уравнение касательной и нормали в точке 
к кривой, заданной неявно 
.
Решение. Задана точка , в которой проводится касательная к кривой. Тогда, 
. Найдем производную неявно заданной функции:
,
,
.
Определим производную в заданной точке:
.
Используем уравнение касательной (3.1)
,
Используем уравнение нормали (3.2)
. ►
3.2.Составить уравнение касательной к графику функции 
, параллельной прямой 
.
Решение. Угловой коэффициент данной прямой 
. Поэтому точка кривой , в которой касательная параллельна данной прямой, находится из уравнения 
. Тогда 
, откуда 
. Определяются значения функции в найденных точках: 
, 
. Уравнение касательной к кривой в точке
имеет вид
,
Уравнение касательной к кривой в точке 
имеет вид:
, 
. ►
3.3.Тело движется прямолинейно по закону 
. Определить скорость и ускорения тела в момент времени 
Решение. Найдем первую и вторую производную функции 
:
, 
.
Находим скорость движения тела в момент времени :
.
Определим ускорение движения тела в момент времени
. ►
2.4.Объем производства описывается уравнением 
. Вычислить производительность труда в момент 
Решение. Определим производную в момент :
, 
.
Производительность труда в момент равна 
. ►
2.5. Определить эластичность функции спроса 
, где 
- цена единицы товара. Выяснить при каких значениях цены спрос является эластичным, нейтральным и неэластичным.
Решение. По формуле (3.3) определим эластичность 
.
Спрос нейтрален, если 
. Решая это уравнение, имеем 
. Решение проводится при условии 
. При
, выполняется неравенство 
и спрос является эластичным 
при 
выполняется неравенство 
и спрос уже будет неэластичным. ►
Составить уравнение касательной и нормали к кривой в указанных точках:
2.6. 
2.7. 
2.8. 
2.9. 
2.10. Издержки производства 
зависят от объема продукции и вычисляются по формуле 
. Найти предельные издержки 
.
2.11.Найти эластичность функций 
, 
Задачи для самостоятельной работы.
1.1.; 1.3.; 1.2.; 1.4.; 2. Используя основные правила дифференцирования и таблицу дифференцирования основных элементарных функций, найти…ГЛАВА 2. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ