Понятие вектора. Линейные операции над векторами
Понятие вектора. Линейные операции над векторами.
Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, т.е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая - за конец. Если А - начало вектора и В - его конец, то вектор обозначается символом 
. Вектор можно обозначать и одной малой латинской буквой с чертой над ней (например, 
). Изображается вектор отрезком со стрелкой на конце (рис. 24). Начало вектора называют точкой его приложения. Если точка А является началом вектора , то мы будем говорить, что вектор приложен в точке А.
Длина вектора называется его модулем и обозначается символом 
. Модуль вектора обозначается 
. Вектор , для которого 
, называется единичным
Вектор называется нулевым (обозначается 
), если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.
Линейными операциями называются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.
Определение. Пусть 
и 
два свободных вектора (рис. 26, а). Возьмем произвольную точку О и построим вектор 
= , затем от точки А отложим вектор 
= , Вектор 
, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается 
(рис. 26, б). Ту же самую сумму векторов можно получить иным способом.
Отложим от точки О векторы = и 
. Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм О ABC Вектор , служащий диагональю этого параллелограмма, проведенной из вершины О, является, очевидно, суммой векторов 
(рис. 26, в). Из рис. 26, в непосредственно следует, что сумма двух векторов обладает переместительным свойством:
.
Разностью и называется третий вектор 
, сумма которого с вычитаемым вектором дает вектор . Таким образом, если ,
.
Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис. 28). Откладываем векторы
= и 
= из общей точки О. Вектор 
, соединяющий
концы уменьшаемого вектора и вычитаемого вектора и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, является разностью . Действительно, по правилу сложения векторов
, или 
.
произведением 
( или 
) на 
, называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную 
и то же направление, что и вектор , если > 0, и направление, противоположное направление < 0. Так, например, 2 есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор , а длину, вдвое большую, чем вектор . В случае, когда = 0 или , произведение представляет собой нулевой вектор. Противоположный вектор
можно рассматривать как результат умножения вектора на 
Линейные комбинации векторов.
Линейной комбинацией векторов , называется выражение вида: , где – действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации. Линейная… Если , то . И наоборот, если вектор представлен в виде линейной комбинации…Коллинеарность и компланарность векторов.
Пусть — векторы пространства . Тогда верны следующие утверждения: · Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются… · Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.Свойства коллинеарности
· Коллинеарность — отношение эквивалентности, то есть оно: 1. рефлексивно: 2. симметрично:Понятие базиса. Разложение вектора по базису.
Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого… Базисом в пространстве Rn называется любая система из n-линейно независимых векторов. Каждый вектор из Rn, не входящих…Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.
Обычно используется одно из следующих обозначений: , ,Скалярное произведение векторов в декартовых координатах.
То есть, для векторов на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид , Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить,…Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения.
1) Его модуль равен где - угол между векторами и . 2) Вектор перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами … 3) Вектор направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы и , кажется, что для…Векторное произведение векторов в декартовых координатах.
Если два вектора и определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее — представлены в ортонормированном базисеСмешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения.
. Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей… Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами…Объем пирамиды. Объем параллелепипеда.