Числові ряди

Числовим рядом називається послідовність чисел з’єднаних між собою знаками плюс (або мінус), тобто

. (17)

числа називаються членами ряду, а число - загальним членом ряду.

Частинною сумою ряду називають суму перших членів цього ряду і позначають

Збіжним називається числовим ряд, для якого існує границя частинної суми при , тобто

, (18)

а число називається сумою ряду. Якщо умова (18) для ряду (17) не

виконується, то ряд називається розбіжним.

Необхідною умовою збіжності числового ряду (17) є умова

. (19)

Якщо ця умова не використовується, то ряд є розбіжним.

При перевірці виконання умови (19) виникають труднощі з обчисленням частинних сум Для перевірки збіжності ряду використовують достатні умови збіжності ряду (17).

Для знакододатніх числових рядів розглянемо такі ознаки збіжності:

1) Ознака Даламбера. Якщо для знакододатнього числового ряду (17) існує границя відношення наступного члена ряду до попереднього при необмеженому зростанні номера , тобто

, (20)

то при ряд збіжний, при ряд розбіжний, а при про збіжність нічного не можна сказати. У цьому випадку слід застосувати іншу ознаку.

2) Радикальна ознака Коші. Якщо для знакододатнього числового ряду (17)

існує границя вигляду

, (21) то при ряд збіжні, а при ряд розбіжний. При необхідною застосувати іншу ознаку.

3) Ознака порівняння рядів. Якщо один з двох знакододатних рядів є збіжним ( розбіжним ) і виконується умова

,

то збіжним (розбіжним) буде і другий ряд.

Приклад. Дослідити збіжність рядів:

а) ; б) .

Розв’язання. а) У цьому випадку застосуємо ознаку Даламбера, де

, .

Згідно формули (20) знайдемо число :

Ряд розбіжний.

Знакозмінні ряди збіжні, якщо збіжними є ряди із їх абсолютних величин. Так збіжність називається абсолютною.

Знакопочережні ряди є частинним випадком знакозмінних рядів. Вони позначаються

(22)

Ознака Лейбніца. Якщо члени знакопочережного ряду по абсолютній величині спадні: і виконується умова , то знакопочережний ряд збіжний, а його сума не більша першого члена ряду.

Зауваження. Якщо ряд із абсолютних величин членів знакопочережного ряду є розбіжним, а ознака Лейбніца виконується, то такий ряд називається умовно збіжним.

Приклад. Дослідити збіжність ряду .

Розв’язання. Ряд знакопочережний. Перевіримо ознаки Лейбніца:

;

.

Умови виконуються. Ряд збіжний.