Функціональні ряди

Функціональними називаються ряди, членами яких є деякі функції , визначені в області зміни аргументу :

. (23)

Функціональний ряд називається збіжним в точці _0, якщо при підстановці даної точки у функціональний ряд одержимо збіжний числовий ряд, а точка ₀ називається точкою збіжності функціонального ряду. Сукупність всіх точок збіжності функціонального ряду називають його областю збіжності.

Частинним випадком функціональних рядів є степеневі ряди.

Степеневим рядом називається ряд вигляду

, (24)

де a і коефіцієнти є сталі величини. Радіус збіжності степеневого ряду обчислюється за формулою:

. (25)

Областю збіжності степеневого ряду є інтеграл (a-R, a+R), до якого можуть бути додатні кінцеві точки a-R, a+R.

Приклад. Знайти область збіжності степеневого ряду .

Розв’язання. Знайдемо радіус збіжності степеневого ряду (25):

.

Дослідимо ще кінці цього інтервалу.

1) При x=1 одержимо такий числовий ряд

Цей ряд розбіжний, бо необхідна умова збіжності не виконується:

.

2) При одержимо знакопочережний ряд , який також розбіжний, бо для нього не виконується друга умова ознаки Лейбніца.

До інтервалу збіжності ряду не можна додати жодної кінцевої точки.

Відповідь: Область збіжності ряду є інтервал .

Якщо функція є сумою степеневого ряду

(26)

то такий ряд називається рядом Тейлора, а вираз (26) називається розвиненням функції у степеневий ряд. При вираз (26) має вигляд

(27)

і називається розвиненням функції ряд Маклорена.

Відмітимо важливі розвинення у степеневі ряди таких елементарних функцій:

Степеневі ряди мають широке застосування в точних та наближених обчисленням функцій , інтегралів, наближеному розв’язуванні диференціальних рівнянь та інших випадках.

Приклад. Функцію розвинути в степеневий ряд і знайти радіус збіжності одержаного ряду.

Розв’язання. Позначимо і для функції запишемо таке розвинення в ряд: , а для функції одержимо:

Радіус збіжності обчислимо за формулою (25): тоді

Ряд збіжний на всій числовій осі .

Приклад. Обчислити визначений інтеграл з точністю до 0,001.

Розв’язання. Підінтегральну функцію розвинемо у біноміальний ряд:

Одержимо ряд:

Замінимо підінтегральну функцію на її розвинення у ряд і після інтегрування обчислимо його наближено, взявши стільки членів, щоб решта ряду була меншою від 0,001. Щоб не одержати похибки від округлення, будемо брати чотири знаки після коми.

Відповідь: .