Системи диференціальних рівнянь

Системою диференціальних рівнянь називається сукупність диференціальних рівнянь.

Систему диференціального рівняння першого порядку вигляду (15)

називають нормальною системою.

Розв’язком системи (15) називають сукупність функцій , які задовольняють кожному рівнянню системи.

Системи рівнянь вищих порядків можна звести до нормальної системи за допомогою введення додаткових функцій.

Методом виключення змінних систему (15) можна звести до одного рівняння -го порядку відносно однієї невідомої функції.

Приклад. Знайти загальний розв'язок системи рівнянь методом виключення змінних:

Розв’язання. Виключимо, наприклад, функцію із системи рівнянь. Для цього продиференціюємо друге рівняння системи по :

В одержане рівняння підставимо із першого рівняння значення :

(16)

Із другого рівняння знайдемо функцію і підставимо її у рівняння (16). Одержимо: ;

Одержали лінійне однорідне рівняння із сталими коефіцієнтами другого порядку відносно функції . Знайдемо його загальний розв'язок

Корені дійсні різні. В силу формули (11) загальний розв'язок має вигляд

.

Продиференціюємо функцію : .

Одержаний вираз підставимо у рівняння . Одержимо функцію :

Відповідь: функції є розв’язком системи.