Лінійне неоднорідне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння із сталими коефіцієнтами має вигляд , (14)

де - невідома функція.

Для деяких функцій окрім методу варіації сталих можна застосувати метод підбору частинного розв'язку.

1) Якщо права частина рівняння (14) має вигляд многочлен -го порядку, то частинний розв'язок шукають у вигляді

,

де - многочлен того самого порядку, що і многочлен , але з невідомими коефіцієнтами, а число - число коренів характеристичного рівняння рівних нулю.

2) Якщо функція , де - довільне число, то частинний розв'язок має вигляд

,

де - многочлен із невідомими коефіцієнтами, а число - число коренів характеристичного рівняння, які співпадають із коефіцієнтом в показнику степені.

3) Якщо , де - задані числа, то частинний розв'язок записують у вигляді

,

де - невідомі коефіцієнти, а дорівнює числу коренів характеристичного рівняння, які співпадають із .

Приклад. Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння , який задовольняє початковим умовам .

Розв’язання. Для знаходження загального розв'язку цього рівняння необхідно знайти загальний розв'язок однорідного рівняння і частинний розв'язок неоднорідного рівняння , тобто .

, де =0, бо із характеристичного рівняння , а і вони не співпадають, то .

Знайдемо невідомі коефіцієнти : .

Підставимо у рівняння і одержимо тотожність із якої методом невизначених коефіцієнтів знайдемо .

Тоді . Загальний розв'язок має вигляд

.

Враховуючи початкові умови можемо визначити значення коефіцієнтів C₁ і C₂ . Знайдемо:

Із початкових умов слідує, що , то після підстановки даних значень у загальний розв'язок та його похідну одержимо систему:

Одержані значення коефіцієнтів підставимо у загальний розв'язок рівняння і матимемо частинний розв'язок: