Диференціальні рівняння першого порядку

Диференціальні рівняння першого порядку мають вигляд або . Функція буде загальним розв’язком таких рівнянь, якщо при любих значеннях сталої вона є розв’язком даних рівнянь і при єдиному значенні задовольняє початковим умовам вигляду або такого вигляду

Геометрично функція описує множину інтегральних кривих. Розв’язк називається частинним розв’язком і виражає одну інтегральну криву.

Проінтегрувати або знайти загальний розвиток диференціальних рівнянь першого порядку можна певними методами, які годяться для відповідних класів рівнянь.

Диференціальними рівняннями з відокремлюваними змінними називаються рівняння вигляду (3)

Записавши похідну у вигляді , одержимо рівняння або

, або . Тут змінні відокремились і це

рівняння можемо проінтегрувати: . (4)

Вираз (4) називається загальним інтегралом диференціального рівняння (3).

Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Розв’язання. Розв'яжемо рівняння відносно похідної. Одержимо

Відповідь: - загальний розв’язок диференціального рівняння.

Однорідним рівнянням першого порядку називають рівняння вигляду

.

За допомогою заміни змінної дане рівняння зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними:, яке можна проінтегрувати.

Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Розв’язання. Розв’яжемо дане рівняння відносно і одержимо однорідне рівняння:

Заміна змінної приведе до рівняння з відокремлюваними змінними:

Позначимо Одержимо

Змінні відокремились і рівняння можна проінтегрувати:

Відповідь: Функція є загальним розв’язком однорідного рівняння.

Лінійними рівняннями першого порядку називаються рівняння вигляду

де - задані функції.

Будемо шукати загальний розв’язок даного рівняння у вигляді добутку двох функцій і , тобто , а .

Тоді лінійне рівняння перепишеться у вигляді

.

На функцію накладено таку умову, щоб вираз дорівнював нулю. Одержимо а .

Ці рівняння є рівняннями з відокремлюваними змінними. Після знаходження функції і підстановки її у друге рівняння одержимо функцію . Їх добуток дасть загальний розв'язок лінійного рівняння. Існують інші методи розв’язування лінійних рівнянь.

Зауваження. Розглянутим методом можна розв’язувати рівняння вигляду

,

де - довільне число, а рівняння називається рівнянням Бернуллі.

Приклад. Знайти загальний розв'язок рівняння .

Розв’язання. Це лінійне рівняння першого порядку, де , а . Будемо шукати загальний розв'язок цього рівняння у вигляді , а . Одержимо:

. Якщо то .

Розв’язуємо послідовні ці рівняння.

Загальний розв'язок лінійного рівняння має вигляд: .

Відповідь: функція є загальним розв’язком лінійного рівняння.

Диференціальні рівняння другого порядку

Рівняння другого порядку мають вигляд або , а початкові умови записуються так:

До рівнянь другого порядку, які допускають зниження порядку належать рівняння: .

Розглянемо послідовно, як здійснюється зниження порядку і як інтегрувати кожне із них. Ці рівняння необхідно інтегрувати двічі.

Рівняння можна записати у вигляді або і проінтегрувати: . Одержане рівняння першого порядку необхідно ще раз проінтегрувати.

Приклад. Знайти загальний розв'язок рівняння .

Розв’язання. Другу похідну перепишемо у вигляді , тобто . Одержимо:

Одержали рівняння першого порядку, яке можна проінтегрувати:

Відповідь: функція є загальним розв’язком рівняння другого порядку.

Рівняння за допомогою заміни зводяться до рівняння першого порядку вигляду , яке уміємо розв’язувати. Якщо, наприклад, , то , а .

Приклад. Знайти загальний розв'язок рівняння

Розв’язання. Позначимо . Одержимо рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними

- загальний розв'язок рівняння.

Рівняння за допомогою заміни змінної зводиться до рівняння першого порядку, яке уміємо інтегрувати.

Приклад. Знайти загальний розв'язок рівняння .

Розв’язання. У рівнянні відсутня змінна , тому введемо заміну вигляду а . Після підстановки одержимо рівняння першого порядку, у

якому змінні відокремляться і його можна проінтегрувати.

Відповідь: функція є загальним розв’язком диференціального рівняння.

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку

Лінійні рівняння другого порядку мають вигляд

, (5)

де - деякі неперервні функції, а . Якщо , то лінійне рівняння (6)

називається лінійним однорідним.

Структура загального розв’язку для лінійних однорідних рівнянь (6) має вигляд , (7)

де - сталі величини, а та - функції, які складають фундаментальну систему розв’язків для даного рівняння.

Для лінійних неоднорідних рівнянь (5) структура загального розв'язку є такою: , (8)

де є загальним розв’язком однорідного рівняння, а - частинний розв'язок неоднорідного рівняння.