Другий семестр

Інтегральне числення

Невизначений інтеграл

В диференціальному численні розв’язується така задача: для заданої функції знайти її похідну. В інтегральному численні розв’язується обернена задача: за даною похідною відновити первісну функцію.

Первісною функцією F(x) для заданої функції f(x) називається функція, яка задовольняє умовам , .

Наприклад. Перевірити першу умову для функцій:

1) 2)

3) ; 4) .

Висновок: для функції існують відмінні первісні функції.

Первісні функції для функції f(x) різняться між собою на сталу величину, тобто F(x)=Ф(x)+C.

Невизначеним інтегралом для неперервної функції f(x) називається множина всіх первісних F(x) і позначається

.

Основними властивостями невизначеного інтеграла є такі:

1) ; 2) .

Таблиця основних інтегралів

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. +С; 14. ; 15. ; 16. ;

17. ; 18. ; 19. ; 20. ; 21. ; 22. ; 23. +С; 24. ; 25. ; 26. ; 27. ; 28. ; 29. ; 30. ; 31. ;

Наприклад. Знайти інтеграли:

1); 2) ; 3) ; 4) .

.Розв’язання. Часто, за допомогою деяких простих перетворень, підінтегральну функцію можна звести до табличних інтегралів. Зупинимося на деяких із них:

1) Виділимо цілу частину дробової функції за допомогою приписування (+5) і (-5) у чисельнику дробу. Одержимо вираз, який уже можна інтегрувати

;