Диаграммы Эйлера-Венна

Чтобы наглядно изображать множества, английский математик Джон Венн (1834-1923) предложил использовать замкнутые фигуры на плоскости. Намного раньше Эйлер (1707-1783) для изображения отношений между множествами использовал круги. Позднее такие изображения получили названия диаграмм Эйлера-Венна.

Диаграммы – очень удобный инструмент, позволяющий изображать множества и иллюстрировать операции над ними. Это геометрические представления множеств.

Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри него – кругов или каких-либо других замкнутых фигур, представляющих множества, входящие в универсальное. Фигуры находятся в определенном положении по отношению друг к другу. В наиболее общем случае они пересекаются. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, обозначают элементы соответствующих множеств.

Все множества на диаграммах обозначаются, как обычно, заглавными буквами латинского алфавита. Построив диаграмму, обычно штрихуют определенные области для обозначения вновь образованных множеств, или выделяют это множество каким-либо другим способом.

В таблице 1 приведены иллюстрации операций объединения, пересечения, разности, дополнения и симметрической разности двух множеств А и В, входящих в универсальное множество U.

Примеры построения более сложных диаграмм приведены ниже.

 

Пример 3. Представить множество диаграммой Эйлера-Венна.

Решение: 1) Обозначим множества А, В, С и универсальное множество U (см. рис. 1а).

2) Заштрихуем множество В диагональными линиями в одном направлении, а - в другом. Площадь с двойной штриховкой представляет собой их пересечение, т.е. множество . Выделим это вновь полученное множество жирной линией (рис. 1б).

3) Сделаем копию диаграммы, на которой заштрихуем областьлиниями одного направления, а А – другого. Вся заштрихованная область представляет объединение множеств А и , т.е. то, что требовалось по заданию. Обведем искомую область жирной линией. (рис. 1в)

Таблица 1

 

Название операции	Обозначение	Изображение	Определение	Символическая запись	Лог. операции
Пересечение множеств			Те и только те элементы, которые принадлежат одновременно А и В		Λ
Объединение множеств			Те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В		V
Разность множеств			Те и только те элементы, которые не принадлежат В
Дополнение к множеству А			Те и только те элементы, которые не принадлежат А (т.е. дополняют его до универсального U)
Симметрическая разность			Те и только те элементы, которые принадлежат одному из множеств: А либо В, но не являются общими элементами

 

а) б) в)

 

Рис. 1

 

Диаграммы Эйлера-Венна также могут использоваться для решения задач, связанных с пересеченными множествами.

При этом для двухпеременных пересеченных множеств используется формула:

|АÈВ| = |А| +|В| - |АÇВ|,

где |А| - число элементов множества А;

|В| - число элементов множества В;

|АÇВ| - число элементов, входящих одновременно и в множество А, и в множество В.

Для трехпеременных пересеченных множеств используется формула:

|АÈВÈС|= |А|+ |В|+ |С| - |АÇВ| - |АÇС| - |ВÇС| + |АÇВÇС|.

Пример 4. Из 100 студентов английский язык изучают 28, немецкий – 30 , французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5, немецкий, английский и французский – 3:

а) сколько студентов не изучают ни одного языка?

б) сколько студентов изучают один английский?

в) один французский?

г) один немецкий?

д) менее двух языков?

Решение. Обозначим: Е – множество всех студентов, А – множество студентов, изучающих английский язык, В – немецкий, С – французский.

Имеем:

|А| = 28, |В| = 30, |С| = 42, |АÇВ| = 8, |АÇС| = 10, |ВÇС| = 5, |АÇВÇС| = 3.

б) один английский изучают:

|А| - |АÇВ| - |АÇС| + |АÇВÇС| = 28 – 8 – 10 + 3 = 13.

в) один французский:

|С| - | ВÇС | - |АÇС| + |АÇВÇС| = 42 – 5 – 10 + 3= 30.

г) один немецкий: |В| - |ВÇС| - |АÇВ| + |АÇВÇС| = 30 – 5 – 8 + 3 = 20.

а) ни одного языка не изучают: , но

|АÈВÈС|= |А|+ |В|+ |С| - |АÇВ| - |ВÇС| - |АÇС| + |АÇВÇС|=

=100 – 8 – 10 – 5 + 3=80.

Тогда = 100 – 80 = 20.

д) |АÇВ| + |АÇС| + |ВÇС| - 2|АÇВÇС| = 8 + 10 + 5 - 2·3 = 23 – 6 = 17.

Решение данной задачи можно произвести с помощью диаграммы Эйлера-Венна.

Рис. 2