Уравнение Шредингера - Лекция, раздел История, ЛЕКЦИЯ N 1 • Краткие исторические сведения. Тепловое излучение. Излучение абсолютно черного тела. Закон Кирхгофа. Итоги лекции N 1 Волновое Уравнение, Позволяющее Найти Волновую Функцию Частицы, Которая Движе...
Волновое уравнение, позволяющее найти волновую функцию частицы, которая движется в заданном силовом поле, имеет следующий вид:
здесь
- постоянная Планка; m - масса частицы; U - ее потенциальная энергия во внешнем поле, которая, вообще говоря, может зависеть и от времени t, 
- мнимая единица, через 
обозначен оператор Лапласа. Оператор - это совокупность действий, которые надо провести над функцией. В декартовой системе координат оператор Лапласа имеет вид:
Волновое уравнение для функции Ψ получено в 1926 г. австрийским физиком Эрвином Шредингером и носит его имя - уравнение Шредингера.
В квантовой механике уравнение Шредингера играет такую же фундаментальную роль, как и уравнения движения Ньютона в классической механике.
В случае, если внешнее поле, в котором движется частица, не зависит от времени (U ≠ U(t) ), то:
Здесь E - полная энергия частицы, которая в стационарном состоянии сохраняется. Волновая функция Ψ распадается на произведение двух сомножителей. Первый сомножитель ψ(x, y, z) - координатная волновая функция. Второй сомножитель, 
дает временную зависимость волновой функции Ψ. Эта зависимость универсальна, т.е. не зависит от конкретного вида функции U(x, y, z), задающей потенциальную энергию.
Подставим в уравнение Шредингера (7.1) волновую функцию (7.2). После дифференцирования по t и сокращения на экспоненту, получим дифференциальное уравнение для координатной волновой функции ψ(x, y, z):
Это уравнение называют уравнением Шредингера для стационарных состояний.
Отметим, что квадраты модулей полной Ψ и координатной ψ волновых функций совпадают. Действительно:
Для системы N взаимодействующих частиц волновая функция является функцией 3N координат и времени t, т.е.
Оператор Лапласа, деленный на массу 
, заменяется на сумму соответствующих выражений для каждой частицы, т.е.
В качестве U записывается потенциальная энергия взаимодействия частиц, т.е.
Решение получающегося уравнения представляет большие математические трудности, которые возрастают с ростом числа частиц N. В дальнейшем мы будем рассматривать только стационарное уравнение Шредингера для одной частицы, причем ограничимся простейшими потенциальными полями.
§ 2. Понятия об операторах физических величин
Уравнение Шредингера для стационарных состояний (7.3) можно записать в следующем, операторном виде:
здесь 
- гамильтониан частицы, или оператор Гамильтона. Оператор Гамильтона получается из функции Гамильтона, которая есть сумма кинетической энергии частицы, выраженной через импульс, и ее потенциальной энергии, т.е.
Если в этом выражении импульс частицы p заменить на оператор импульса 
, то из функции Гамильтона получим оператор Гамильтона . Оператор импульса частицы в квантовой механике выглядят следующим образом:
следовательно гамильтониан для одной частицы будет иметь следующий вид:
Легко убедиться, что после подстановки полученного выражения дляв уравнение Шредингера в операторном виде мы получим уравнение Шредингера в виде (7.3).
Все темы данного раздела:
Проблема излучения абсолютно черного тела. Формула Планка. Закон Стефана-Больцмана, закон Вина
§ 1. Проблема излучения абсолютно черного тела. Формула Планка
Проблема излучения абсолютно черного тела состояла в том, чтобы
Закон Стефана-Больцманаи закон Вина
Из (1.11) для абсолютно черного тела, когда rω = f(λ,Т), получим энергетическую светимость R(T), интегрируя функцию f(ω,Т) (2.2) во всем интервале частот.
Проблема фотоэффекта
Фотоэффект - это испускание электронов веществом под действием электромагнитного излучения.
Такой фотоэффект называют внешним. Именно о нем мы будем говорить в эт
Итоги лекции N 3
1. Фотоэффект - это испускание электронов веществом под действием электромагнитного излучения.
2. Экспериментальные исследования фотоэффекта, приведенного в 1900-1904 гг., показали, что
Боровская теория атома водорода
Атом водорода - простейший из всех атомов. Его ядро - элементарная частица протон. Масса протона в 1836 раз больше массы электрона, вследствие этого ядро в первом приближении можно считать неподвиж
Условие стационарности состояния атома - квантование момента импульса электрона L.
При движении электрона по круговой орбите радиуса rn (n = 1,2,3,...) его момент импульса Ln = mevrn должен быть кратен постоянной Планка, деленной на 2&#
Итоги лекции N 4
1. Уравнение движения электрона в планетарной модели атома, записанное на основе второго закона Ньютона, позволяет атому иметь любой размер, опыт же показывает, что размеры атомов порядка 10-1
Энергия фотона
4. Импульс фотона
Гипотеза де Бройля. Волновые свойства электронов
Согласно гипотезе де Бройля любой движущийся частице с энергией E и импульсом соответствует волна с частотой v = E/h, длиной волны λ = h/p и волновым вектором . Так же как в случае с фо
Соотношения неопределенностей являются следствием корпускулярно-волнового дуализма квантовых объектов.
Задолго до создания квантовой механики в оптике было известно соотношение между длиной цуга световой волны Δx и неопределенностью волнового числа этого цуга Δk:
Решение уравнения Шредингера для простейших случаев: свободная частица и частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме
Для свободной частицы потенциальная энергия U ≡ 0. Уравнение Шредингера (7.3) в этом случае выглядит следующим образом:
Итоги лекции N 7
Волновое уравнение для функции Ψ получено в 1926 г. Э. Шредингером и носит его имя - уравнение Шредингера. Для одной частицы, Движущейся во внешнем поле, оно имеет следующий вид (см. (7.
Итоги лекции N 8
1. Формула (8.3) для энергии стационарных состояний атома водорода, полученная на основе уравнения Шредингера совпадает с аналогичной формулой (4.8), полученной в боровской теории атома водорода, т
Спин электрона. Принцип Паули. Фермионы и бозоны.
Как уже упоминалось в конце § 3 предыдущей лекции, спектральные линии атома водорода обнаруживают тонкую структуру. Тонкая структура присуща спектрам всех атомов. Для объясн
Объяснение температурной зависимости теплоемкостей газов
В части 4, лекции N 4 обсуждались графики экспериментальных зависимостей теплоемкости CV для двух газов: одноатомного аргона (Ar) и двухатомного водорода (H2). Ход графика для
Итоги лекции N 9
1. Электрон обладает собственным моментом импульса LS , не связанным с движением в пространстве. Модуль собственного момента импульса определяется спиновым квантовым числом
Электронный газ в модели одномерной бесконечно глубокой потенциальной ямы. Электронный газ в модели бесконечно глубокой трехмерной потенциальной ямы
Валентные электроны в металле могут довольно свободно перемещаться в пределах объема металлического образца. Потенциальная энергия электрона в пределах образца металла приблизительно постоянна, но
Электронный газ при T > 0. Распределение Ферми-Дирака
Рис. 11.1
На приведенных выше рисунках 11.1 изображена одномерная потенциальная яма, заполне
Результаты квантовой теории электропроводности металла
В Ч. 4 настоящего курса была приведена формула (6.9) для σ - удельной проводимости, полученная П. Друде в рамках классической теории электропроводности:
Бозоны. Распределение Бозе-Эйнштейна
Бозон - это частица или (квазичастица - как, например, фонон - квант упругих колебаний в твердых телах) с нулевым или целочисленным спином. К бозонам
Итоги лекции N 12
1. Квантовая теория электропроводности металлов дает для удельной проводимости σ формулу (12.2):
Происхождение энергетических зон в кристаллах. Металлы
Физически происхождение зонной структуры в кристалле связано с образованием кристалла из N атомов, каждый из которых в свободном состоянии обладает дискретным электронным энергетическим спектром (с
Собственная проводимость полупроводников
Из элементов таблицы Менделеева типичными полупроводниками являются германий и кремний. Ширина запрещенной зоны у германия 0,66эВ, у кремния - 1,1эВ (при T = 300К).
Имея по 4 валентных эле
Итоги лекции N 13
При объединении атомов в кристалл их энергетические уровни вследствие принципа Паули превращаются в систему очень близко расположенных подуровней - разрешенныеэнергетические
Донорные примеси, полупроводникиn-типа
Для четырехвалентных полупроводников германия (Ge) и кремния (Si) донорными примесями являются атомы пятивалентных элементов, таких как фосфор (P), мышьяк (As), с
Акцепторные примеси. Полупроводникиp-типа
Акцепторными примесями для германия и кремния являются атомы трехвалентных элементов, таких как бор (B), алюминий (Al), галлий (Ga), индий (In).
Название "акце
Электронно-дырочный переход. Полупроводниковый диод
Создадим контакт из двух полупроводников, один из которых p-типа, а другой n-типа, как это изображено на рис.14.3 Такой контакт называют электронно-дырочным переходом, или p-n переходом.
Полупроводниковый триод - транзистор
Полупроводниковый триод, или транзистор, - это электронный прибор, предназначенный для усиления, генерирования и преобразования электрических сигналов. Состоит он из двух p-n переходов, созданных в
Итоги лекции N 14
Атомы пятивалентных элементов, таких как фосфор (Р), мышьяк (As), сурьма (Sb), добавленные в кристаллическую решетку четырехвалентных полупроводников германия (Ge) или кремния (Si), называютс
Оптический резонатор
Для превращения сверхлюминисценции в генерацию лазерного излучения необходимо наличие положительной обратной связи, осуществляемой за счет оптического резонатора.
Способы создания инверсии населенности
Процесс создания инверсии населенности называется накачкой. В зависимости от структуры активной среды используются различные виды накачки.
В твердых телах и жидкостях испо
Виды лазеров и их применение
По режиму работы лазеры можно разделить на импульсные и непрерывного действия. По виду активной среды лазеры делятся на газовые, жидкостные, полупроводнико
Итоги лекции N 15
Лазер, или оптический квантовый генератор - это устройство, генерирующее когерентные электромагнитные волны за счет вынужденного испускания света активной средо
Размер, состав и заряд атомного ядра. Массовое и зарядовое число
Атомное ядро было открыто английским физиком Э. Резерфордом в 1911 году в опытах по рассеянию α-частиц при прохождении их через вещество. Схема этого опыта была приведена нами в первой лекции
Дефект массы и энергия связи атомного ядра. Ядерные силы
Как показывает опыт, масса ядра mя меньше, чем суммарная масса входящих в состав ядра нуклонов. Объяснение этому факту дает релятивистская механика на основе форм
Итоги лекции N 16
Ядро - центральная массивная часть атома, где сосредоточено более 99,95% массы атома. Ядро имеет положительный заряд qЯ, кратный элементарному заря
Некоторые сведения из истории открытия деления ядра урана
После открытия нейтрона физики получили в свое распоряжение частицу, способную, ввиду отсутствия заряда, проникать в любые, в том числе и тяжелые, ядра. Исследования воздействия нейтронов на ядра,
Цепная ядерная реакция. Ядерная бомба
После открытия деления ядер урана У. Зинн и Л. Сциллард, а также Г.Н. Флеров показали, что при делении ядра урана вылетает больше одного нейтрона. Дальнейшие исследов
Ядерный реактор
Ядерный реактор - это содержащая ядерное горючее установка, в которой осуществляется управляемая ядерная реакция.
В качестве делящегося вещества в реакторах используют природный (либо слег
Реакция синтеза атомных ядер. Проблема управляемых термоядерных реакций
Как уже отмечалось в § 2 настоящей лекции, при реакции ядерного синтеза (слияния) легких атомных ядер выделяется очень большое количество энергии.
Но для того, чтобы произошло слияние атом
Закон радиоактивного распада
Закон радиоактивного распада дает зависимость N(t) -числа радиоактивных ядер от времени. Поскольку отдельные радиоактивные ядра распадаются независимо друг от друга, можно считать, что число ядер d
Взаимодействие радиоактивного излучения с веществом
Человек с помощью своих органов чувств не способен обнаружить радиоактивное излучение. Поэтому важной задачей является изучение особенностей взаимодействия различных радиоактивных излучений с вещес
Методы регистрации ионизирующих излучений
Быстрые заряженные частицы, проходя через вещество, оставляют за собой след ионизированных и возбужденных атомов. Нейтроны и γ-кванты, взаимодействуя с ядрами и атомами, создают вторичные быст
Итоги лекции N 18
1. Радиоактивностью называют свойства атомных ядер самопроизвольно изменять свой состав (заряд z и массовое число А) путем испускания элемента
Новости и инфо для студентов