Решение уравнения Шредингера для простейших случаев: свободная частица и частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме
Решение уравнения Шредингера для простейших случаев: свободная частица и частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме - Лекция, раздел История, ЛЕКЦИЯ N 1 • Краткие исторические сведения. Тепловое излучение. Излучение абсолютно черного тела. Закон Кирхгофа. Итоги лекции N 1 Для Свободной Частицы Потенциальная Энергия U ≡ 0. Уравнение Шредингера...
Для свободной частицы потенциальная энергия U ≡ 0. Уравнение Шредингера (7.3) в этом случае выглядит следующим образом:
Для частицы, движущейся вдоль оси х, волновая функция ψ = ψ(х) и уравнение еще упрощается:
Решением этого уравнения будет экспоненциальная функция:
проверить это легко прямой подстановкой. При этом для энергии E получаем, как и следовало ожидать,
здесь px = mv - импульс частицы.
Мы видим, что у свободной частицы энергия E и импульс px могут принимать любые значения, т.е. не квантуются.
Полную волновую функцию Ψ(x, t) получим, домножив ψ(x) на временной множитель (см. (28.1)):
Это есть не что иное, как уравнение волны де Бройля (6.2).
В случае бесконечно глубокой одномерной потенциальной ямы шириной а потенциальная энергия:
Изобразим график U(x) (см. рис. 7.1). Если частица находится в яме, то ее координата х может изменяться от нуля до a. За пределы ямы частица выйти не может, т.к. там потенциальная энергия бесконечно велика (стенки ямы бесконечно высоки). Значит вероятность обнаружить частицу в любом месте за пределами ямы равна нулю (dw = 0).
Рис. 7.1
В одномерном случае из (6.3) получим:
Откуда следует, что за пределами ямы волновая функция ψ тождественно обращается в ноль.
Из условия непрерывности волновой функции следует, что внутри ямы она должна так зависеть от координаты х, чтобы обращаться в ноль на границах ямы. Значит граничные условия на волновую функцию ψ будут иметь следующий вид:
Внутри ямы U ≡ 0 и уравнение Шредингера будет иметь такой же вид, как и для свободной частицы (7.10):
или
Так как E = p2/2m, то для коэффициента при ψ имеем:
Откуда энергия частицы:
Здесь - волновое число.
В результате уравнение Шредингера примет вид хорошо известного нам дифференциального уравнения:
Решением этого уравнения, как известно, являются гармонические функции (синус или косинус) и мнимая экспонента. Здесь нам удобнее взять функцию "синус" с нулевой начальной фазой. Тогда ψ(x) - волновая функция частицы, будет иметь следующий вид:
Постоянная С будет найдена позднее из условия нормировки (7.14).
Т.к. sin 0 = 0, то граничное условие на левой границе (ψ(0) = 0) автоматически выполняется. Потребуем выполнения граничного условия на правой границе:
Это граничное условие будет выполнено, если
Значение целого числа n = 0 хотя и удовлетворяет граничному условию, но оно тождественно обращает волновую функцию в ноль (отсутствие частицы в яме!) и поэтому не годится.
Отрицательные значения n не приводят к появлению новых состояний: при изменении знака n меняется знак ψ, тогда как вероятность не меняется.
В результате мы получили, что вследствие граничных условий волновое число k может принимать лишь дискретные значения:
где квантовое число n принимает любые положительные целые значения, начиная с 1. С аналогичной ситуацией мы уже встречались при рассмотрении колебаний струны, закрепленной с двух концов (см. Ч. 3, лекция N 6, § 6).
С волновым числом k связана энергия частицы E (7.16). Следовательно, квантование волнового числа приводит к квантованию энергии частицы в потенциальной яме:
Подставляя сюда kn из (7.20), получим формулу для стационарных состояний энергии частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной a:
Схема энергетических уровней частицы в яме выглядит следующим образом:
Рис. 7.2
Расстояния между соседними уровнями:
Оценим ΔEn для молекулы (m ~ 10-26 кг), находящейся в сосуде размером a ~ 0,lм.
Расстояния между уровнями в этом случае столь малы, что их дискретность совершенно несущественна. Ситуация меняется, если аналогичную оценку сделать для электрона (me = 9,1?·10-31 кг), локализованного в области порядка атомных размеров (a ~ 10-10 м).
В этом случае:
и дискретность уровней будет определять поведение частицы.
Условие нормировки (6.5) для нашей волновой функции (7.18) имеет следующий вид:
Интеграл равен a/2, значит
Подставляя константу C в волновую функцию (7.18) и учитывая условия квантования для волнового числа k (7.20), получим нормированные волновые функции для частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме:
Каждая из этих волновых функций задает квантовое состояние частицы с квантовым числом n.
В соответствии с вероятностным смыслом волновой функции (6.3) вероятность dwn обнаружить нашу частицу в интервале от x до x + dx, если она находится в квантовом состоянии ψn, дается следующим выражением:
Плотность вероятностиобнаружения частицы:
Графики волновых функций первых двух квантовых состояний и соответствующие графики плотности вероятности приведены на рисунках 7.3а,б.
Рис. 7.3 а,б
Из графика плотности вероятности для состояния с n = 2 видно, что точно посередине ямы частица не может быть обнаружена, т.к. там ψ22 = 0. По классическим же представлениям частица должна была двигаться равномерно внутри ямы, отражаясь от ее стенок. Ясно, что при этом все положения частицы в яме равновероятные.
ЛЕКЦИЯ N Краткие исторические сведения Тепловое излучение Излучение абсолютно черного тела Закон Кирхгофа Итоги лекции N... ЛЕКЦИЯ N Проблема излучения абсолютно черного тела Формула Планка Закон... ЛЕКЦИЯ N Проблема фотоэффекта Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта Итоги лекции N...
Закон Стефана-Больцманаи закон Вина
Из (1.11) для абсолютно черного тела, когда rω = f(λ,Т), получим энергетическую светимость R(T), интегрируя функцию f(ω,Т) (2.2) во всем интервале частот.
Проблема фотоэффекта
Фотоэффект - это испускание электронов веществом под действием электромагнитного излучения.
Такой фотоэффект называют внешним. Именно о нем мы будем говорить в эт
Итоги лекции N 3
1. Фотоэффект - это испускание электронов веществом под действием электромагнитного излучения.
2. Экспериментальные исследования фотоэффекта, приведенного в 1900-1904 гг., показали, что
Боровская теория атома водорода
Атом водорода - простейший из всех атомов. Его ядро - элементарная частица протон. Масса протона в 1836 раз больше массы электрона, вследствие этого ядро в первом приближении можно считать неподвиж
Итоги лекции N 4
1. Уравнение движения электрона в планетарной модели атома, записанное на основе второго закона Ньютона, позволяет атому иметь любой размер, опыт же показывает, что размеры атомов порядка 10-1
Гипотеза де Бройля. Волновые свойства электронов
Согласно гипотезе де Бройля любой движущийся частице с энергией E и импульсом соответствует волна с частотой v = E/h, длиной волны λ = h/p и волновым вектором . Так же как в случае с фо
Уравнение Шредингера
Волновое уравнение, позволяющее найти волновую функцию частицы, которая движется в заданном силовом поле, имеет следующий вид:
Итоги лекции N 7
Волновое уравнение для функции Ψ получено в 1926 г. Э. Шредингером и носит его имя - уравнение Шредингера. Для одной частицы, Движущейся во внешнем поле, оно имеет следующий вид (см. (7.
Итоги лекции N 8
1. Формула (8.3) для энергии стационарных состояний атома водорода, полученная на основе уравнения Шредингера совпадает с аналогичной формулой (4.8), полученной в боровской теории атома водорода, т
Спин электрона. Принцип Паули. Фермионы и бозоны.
Как уже упоминалось в конце § 3 предыдущей лекции, спектральные линии атома водорода обнаруживают тонкую структуру. Тонкая структура присуща спектрам всех атомов. Для объясн
Объяснение температурной зависимости теплоемкостей газов
В части 4, лекции N 4 обсуждались графики экспериментальных зависимостей теплоемкости CV для двух газов: одноатомного аргона (Ar) и двухатомного водорода (H2). Ход графика для
Итоги лекции N 9
1. Электрон обладает собственным моментом импульса LS , не связанным с движением в пространстве. Модуль собственного момента импульса определяется спиновым квантовым числом
Бозоны. Распределение Бозе-Эйнштейна
Бозон - это частица или (квазичастица - как, например, фонон - квант упругих колебаний в твердых телах) с нулевым или целочисленным спином. К бозонам
Итоги лекции N 12
1. Квантовая теория электропроводности металлов дает для удельной проводимости σ формулу (12.2):
Происхождение энергетических зон в кристаллах. Металлы
Физически происхождение зонной структуры в кристалле связано с образованием кристалла из N атомов, каждый из которых в свободном состоянии обладает дискретным электронным энергетическим спектром (с
Собственная проводимость полупроводников
Из элементов таблицы Менделеева типичными полупроводниками являются германий и кремний. Ширина запрещенной зоны у германия 0,66эВ, у кремния - 1,1эВ (при T = 300К).
Имея по 4 валентных эле
Итоги лекции N 13
При объединении атомов в кристалл их энергетические уровни вследствие принципа Паули превращаются в систему очень близко расположенных подуровней - разрешенныеэнергетические
Донорные примеси, полупроводникиn-типа
Для четырехвалентных полупроводников германия (Ge) и кремния (Si) донорными примесями являются атомы пятивалентных элементов, таких как фосфор (P), мышьяк (As), с
Акцепторные примеси. Полупроводникиp-типа
Акцепторными примесями для германия и кремния являются атомы трехвалентных элементов, таких как бор (B), алюминий (Al), галлий (Ga), индий (In).
Название "акце
Электронно-дырочный переход. Полупроводниковый диод
Создадим контакт из двух полупроводников, один из которых p-типа, а другой n-типа, как это изображено на рис.14.3 Такой контакт называют электронно-дырочным переходом, или p-n переходом.
Полупроводниковый триод - транзистор
Полупроводниковый триод, или транзистор, - это электронный прибор, предназначенный для усиления, генерирования и преобразования электрических сигналов. Состоит он из двух p-n переходов, созданных в
Итоги лекции N 14
Атомы пятивалентных элементов, таких как фосфор (Р), мышьяк (As), сурьма (Sb), добавленные в кристаллическую решетку четырехвалентных полупроводников германия (Ge) или кремния (Si), называютс
Оптический резонатор
Для превращения сверхлюминисценции в генерацию лазерного излучения необходимо наличие положительной обратной связи, осуществляемой за счет оптического резонатора.
Способы создания инверсии населенности
Процесс создания инверсии населенности называется накачкой. В зависимости от структуры активной среды используются различные виды накачки.
В твердых телах и жидкостях испо
Виды лазеров и их применение
По режиму работы лазеры можно разделить на импульсные и непрерывного действия. По виду активной среды лазеры делятся на газовые, жидкостные, полупроводнико
Итоги лекции N 15
Лазер, или оптический квантовый генератор - это устройство, генерирующее когерентные электромагнитные волны за счет вынужденного испускания света активной средо
Размер, состав и заряд атомного ядра. Массовое и зарядовое число
Атомное ядро было открыто английским физиком Э. Резерфордом в 1911 году в опытах по рассеянию α-частиц при прохождении их через вещество. Схема этого опыта была приведена нами в первой лекции
Итоги лекции N 16
Ядро - центральная массивная часть атома, где сосредоточено более 99,95% массы атома. Ядро имеет положительный заряд qЯ, кратный элементарному заря
Некоторые сведения из истории открытия деления ядра урана
После открытия нейтрона физики получили в свое распоряжение частицу, способную, ввиду отсутствия заряда, проникать в любые, в том числе и тяжелые, ядра. Исследования воздействия нейтронов на ядра,
Цепная ядерная реакция. Ядерная бомба
После открытия деления ядер урана У. Зинн и Л. Сциллард, а также Г.Н. Флеров показали, что при делении ядра урана вылетает больше одного нейтрона. Дальнейшие исследов
Ядерный реактор
Ядерный реактор - это содержащая ядерное горючее установка, в которой осуществляется управляемая ядерная реакция.
В качестве делящегося вещества в реакторах используют природный (либо слег
Закон радиоактивного распада
Закон радиоактивного распада дает зависимость N(t) -числа радиоактивных ядер от времени. Поскольку отдельные радиоактивные ядра распадаются независимо друг от друга, можно считать, что число ядер d
Взаимодействие радиоактивного излучения с веществом
Человек с помощью своих органов чувств не способен обнаружить радиоактивное излучение. Поэтому важной задачей является изучение особенностей взаимодействия различных радиоактивных излучений с вещес
Методы регистрации ионизирующих излучений
Быстрые заряженные частицы, проходя через вещество, оставляют за собой след ионизированных и возбужденных атомов. Нейтроны и γ-кванты, взаимодействуя с ядрами и атомами, создают вторичные быст
Итоги лекции N 18
1. Радиоактивностью называют свойства атомных ядер самопроизвольно изменять свой состав (заряд z и массовое число А) путем испускания элемента
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
- волновое число.
не меняется.
Новости и инфо для студентов