рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Задача 9

Задача 9 - раздел Математика, ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. Исследовать На Сходимость Числовой Ряд: ...

Исследовать на сходимость числовой ряд: .

Числовым рядом называется выражение

, (1)

где числа , , … , , … , называемые членами ряда, образуют известную числовую последовательность.

Числовой ряд (1) называется сходящимся, если сумма первых его членов при имеет предел.

Этот предел называется суммой сходящегося ряда.

Если же не существует, то ряд называется расходящимся.

I. Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то

.

Достаточный признак расходимости для всякого ряда. Если же , то ряд расходится.

 

Для числовых рядов с положительными членами (), при исследовании их сходимости, употребительны следующие достаточные признаки сходимости:

 

II. Признак сравнения. Если ряд с положительными членами

(а)

сравнить с другим рядом с положительными членами

(b)

сходимость или расходимость которого известна, и если, начиная с некоторого номера:

1) и ряд (b) сходится, то и ряд (а) также сходится;

2) и ряд (b) расходится, то ряд (а) также расходится.

При использовании этого признака исследуемый ряд часто сравнивается или с бесконечной геометрической прогрессией

, , (2)

которая при сходится, а при расходится, или с расходящимся гармоническим рядом

. (3)

 

Знакопеременный ряд (с членами разных знаков)

(4)

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений его членов

(5)

Знакопеременный сходящийся ряд (4) называется неабсолютно сходящимся, если ряд (5) расходится.

Всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящийся.

III. Признак Даламбера. Если , то при ряд сходится, а при расходится. При вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

 

IV. Радикальный признак Коши. Если , то при ряд сходится, а при расходится. При признак ответа на вопрос о сходимости не дает.

 

V. Интегральный признак Коши. Ряд с положительными убывающими членами сходится или расходится, смотря по тому, сходится или расходится несобственный интеграл , где – непрерывная убывающая функция[2].

Этим признаком можно пользоваться, когда выражение общего члена имеет смысл не только для целых положительных значений , но и для всех , больших некоторого положительного числа .

 

VI. Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд (знаки членов которого строго чередуются) , сходится, если его члены убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю, т.е. если . и .

 

При практическом использовании рядов (сходящихся) обычно ограничиваются несколькими их первыми членами. Допускаемая при этом ошибка (остаток ряда) наиболее просто оценивается для знакочередующихся рядов:

Ошибка при замене суммы сходящегося знакочередующегося ряда суммой нескольких его первых членов меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов.

 

Решение. Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю: и .

Поэтому, согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится. Чтобы установить, сходится он абсолютно или неабсолютно, исследуем ряд с положительными членами , составленный из абсолютных значений членов данного ряда.

Применяя интегральный признак

заключаем, что ряд с положительными членами расходится.

 

 

Развернуть
Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ.

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... Кафедра высшей математики и информатики...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Задача 9

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Практические занятия
Неопределенный интеграл. Использование таблиц интегралов. Замена переменной интегрирования. Методы интегрирования по частям. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбни

Задача 1
Вычислить неопределенные интегралы по частям. 1. 16.

Задача 2
Вычислить неопределенные интегралы методом замены переменной.   1.

Задача 3
  Вычислить определенные интегралы.   1. 6.

Задача 4
Найти общее решение уравнений с разделяющимися переменными.   1.

Задача 5.
Найти общее решение линейных уравнений или уравнений Бернулли.   1.

Задача 6
Найти общее решение дифференциальных уравнений в полных дифференциалах.   1.

Задача 7
Найти общее решение дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.   1.

Задача 8
Найти общее решение линейных, неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.   1.

Задача 9
Исследовать на сходимость числовые ряды, используя признаки Даламбера (№1–6), Коши (№7–14), Лейбница (№15–24), сравнения (№25–30).   1.

Задача 10
Определить область сходимости функциональных рядов (№1–15); для степенных рядов (№16–30) найти радиус сходимости и оценить поведение рядов на концах интервала сходимости.  

Задача 11
Разложить в степенной ряд Тейлора следующие функции:   1. в окрестности точки

Задача 1
Вычислить неопределенный интеграл по частям: . Данный метод основан на использовании формулы интегрирования по частям.

Задача 2
Вычислить интеграл методом замены переменной: . Формула замены переменной в неопределенном интеграле имеет вид

Задача 3
Вычислить определенный интеграл: .   Для вычисления определенного интеграла используют формулу Ньютона–Лей

Задача 4
Найти общее решение уравнения с разделяющимися переменными:     Уравнение первого

Задача 5.
Найти общее решение линейного уравнения: .   Уравнение вида

Задача 6
Найти общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах: .   Если в уравнении 1-г

Задача 7
Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка: . 1) Уравнение

Задача 8
Найти общее решение линейного, неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:   .

Задача 10
Определить интервал сходимости степенного ряда: . Ряд

Задача 11
Разложить в степенной ряд Тейлора функцию: при . &

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги