Математические основы теории потребления.

1.Набор товаров называется оптимальным планом потребления, если он является точкой максимума функции полезности при условии, что переменные удовлетворяют бюджетному ограничению:

,

(9.1)

где - цена единицы -го товара, - величина бюджета (капитала) потребителя.

Отыскание оптимального плана сводится к нахождению точки максимума функции Лагранжа

.

(9.2)

Из необходимого условия экстремума для функции Лагранжа следует, что

(9.3)

Оптимальный план зависит от изменения цены на товары и бюджета, т .е.

.

Функции , называются функциями спроса на -ый товар.

Множество уровня функции полезности называется поверхностью безразличия.

Товар называется ценным, если при увеличении бюджета спрос на него увеличивается, т. е.

Рост цены на товар, при котором величина функции полезности остается неизменной за счет соответствующего увеличения бюджета, называется компенсационным. Если при компенсационном росте цены на -ый товар спрос на -ый товар увеличивается , то товары называются взаимозаменяемыми; если же , то товары называются взаимодополнительными. Товар называется валовым заменителем продукта , если . Говорят, что функция спроса обладает свойством валовой заменимости, если с увеличением цены на любой товар спрос на все остальные товары не убывает, т. е., если . В том случае, когда при говорят о сильной валовой заменимости.

Основные классы функций полезности, используемые в теории потребления, совпадают по своему виду с основными классами производственных функций (см. (2) -(5) § 8). Аналогично определяется и неоклассическая функция полезности.

2.Утверждение 9.1.Существует хотя бы один ценный товар.

Доказательство. Дифференцируя соотношение (9.1) по K , находим

.

(9.4)

Из (9.4), в силу того, что все цены положительны, вытекает существование товара , для которого . В противном случае, левая часть соотношения (9.4) была бы неположительной, а правая - положительной.

Утверждение 9.2.При компенсационном росте цены на -тый товар в неоклассической модели предельный прирост капитала равен спросу на этот товар, т.е.

.

(9.5)

Доказательство. При компенсационном росте цены функция полезности постоянна. Поэтому, принимая во внимание ,правило дифференцирования сложной функции, мы получаем

(9.6)

Из соотношений (9.3) вытекает, что

(9.7)

В силу последних соотношений уравнение (9.6) принимает вид:

Так как (аксиома 2 § 8) и , то из (9.7) вытекает, что

.

(9.8)

Следовательно,

(9.9)

Далее, продифференцировав соотношение (9.1) по , получаем

(9.10)

Из (9.10) с учетом (9.9) вытекает (9.5).

 

3. Утверждение 9.3.Если функция полезности вогнута, то аксиома об убывающей полезности товара выполнена, т. е. .

Доказательство. Если функция вогнута, то рассмотрим , где - матрица Гессе:

.

Пусть , тогда . Подобным образом, полагая и т. д. получаем

.

4. Утверждение 9.4Если функция полезности вогнута, то функция спроса является убывающей функцией от цены.

Доказательство. Для удобства будем считать, что осуществляется компенсационный рост на первый товар. Продифференцируем соотношения (9.7) по , и, учитывая правило дифференцирования сложной функции, найдем

.

(9.11)

Уравнение (9.11) можно записать в более удобном векторном виде, как

,

(9.12)

где - матрица Гессе, - вектор цен, . Умножим (9.12) слева скалярно на вектор , имеем:

.

(9.13)

Уравнения (9.9) эквивалентны тому, что .

Поэтому уравнения (9.13) принимает вид:

.

(9.14)

Отсюда, учитывая, что и (матрица Гессе отрицательно определена) получаем

.

(9.15)

5. Утверждение 9.5В неоклассической модели потребления для любого товара существует хотя бы один взаимозаменительный товар.

Доказательство. Докажем это утверждение для определенности для первого вида товара. В этом случае уравнение (9.9) имеет вид:

(9.16)

Отсюда, с учетом (9.15) получаем, что существует товар, такой , что (т.к. в противном случае в левой части этого уравнения было бы положительное число).

6. Утверждение 9.6. Имеет место уравнение Слуцкого

.

(9.17)

Доказательство. При компенсационном росте цены бюджет есть функция от этой цены, т. е. . Следовательно,

.

Дифференцируя эти соотношения по , находим:

.

Отсюда, принимая во внимание (9.5), получаем (9.17).

7. Утверждение 9.7.При повышении цены pi в неоклассической модели с вогнутой функцией полезности спрос на ценный товар уменьшается.

Доказательство. Это вытекает из уравнения Слуцкого, т. к. для ценного товара и (см. (9.15)).

Утверждение 9.8.Пусть - неоклассическая функция полезности. Докажем, что в точке касательная к линии безразличия совпадает с бюджетной линией.

Доказательство. Так как касательная к линии безразличия и бюджетная линия проходят через одну точку (x*, y *) , то достаточно доказать, что в данной точке совпадают их угловые коэффициенты. Для бюджетной линии угловой коэффициент равен: k (т. к. ).

С другой стороны, угловой коэффициент к линии безразличия есть На основании (9.7) получаем.

Таким образом, задача о нахождении оптимального плана потребления с геометрической точки зрения равносильна нахождению точки касания кривой безразличия и бюджетной линии.