Модель естественного роста (рост при постоянном темпе прироста).

Пусть - количество продукции некоторой отрасли, проданной к моменту времени по фиксированной цене , т. e. отрасль к моменту получила доход . Пусть - величина инвестиций, направляемых на расширение производства, - норма инвестиций (), тогда

.

(10.1)

Мы будем предполагать, что выполнена аксиома о ненасыщаемости потребителя, т.е., что весь произведенный отраслью товар будет распродан. В результате расширения производства отрасль получит дополнительный доход, часть которого будет использована для дальнейшего расширения производства. Этот процесс приведет к увеличения инвестиций, т.e.

,

(10.2)

где - норма акселерации. Подставляя в (10.2) значение из (10.1), получаем

,

(10.3)

где . Из (10.3) вытекает, что , т.е. , или

(10.4)

Если , то из (10.4) имеем, что ,т. e. следовательно,

.

(10.5)

Интегральная кривая уравнения (10.5) имеет вид:

Рисунок 7

Замечание10.1.Дифференциальным уравнением (10.4) описываются также динамика роста цен при постоянном темпе инфляции, процесса радиоактивного распада и процесса размножения бактерий.

2. Рост в условиях конкуренции.

Рассмотрим более общий случай по сравнению с пунктом 1. Пусть - убывающая функция , т.е. с увеличением выпуска будет происходить насыщение рынка, и цена будет падать. Проведя аналогичные рассуждения (см. пример 1), мы получим уравнение:

,

(10.6)

здесь . Уравнение (10.6) представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Так как , то из (10.6) следует, что есть возрастающая функция. Исследуем на выпуклость. Дифференцируя уравнение (10.6) по , получаем

, или , т.е. ,

(10.7)

где - эластичность спроса. Из (10.7) вытекает, что если спрос эластичен (т. е. ), то имеет направление выпуклости вниз, а, если спрос неэластичен (), то имеет направление выпуклости вверх.

Пусть, например, , тогда уравнение (10.6) принимает вид:

..

(10.8)

Из (10.8) легко получить, что при и . А также, что при , и при . Схематично график имеет вид:

Рисунок 8

Данная кривая называется логистической кривой. Она также описывает процесс распространения информации (рекламы), динамику эпидемий, процессы размножения бактерий в ограниченной среде обитания и др.