Модель делового цикла Самуэльсона-Хикса.

 

В данном параграфе мы рассмотрим динамический вариант модели Кейнса, известный под названием модели делового цикла Самульсона-Хикса. Если в модели Кейнса используется принцип независимого (от величины национального дохода) характера инвестирования, то в модели Самуэльсона-Хикса используется так называемый принцип акселерации, т. е. предположение, что масштабы инвестирования прямо пропорциональны приросту национального дохода. Данное предположение характеризуется следующим уравнением

,

(4.1)

где - фактор акселерации, - величина инвестиций в период , - величины национального дохода соответственно в -м и -м периодах.

Естественно также предположить, что спрос на данном этапе зависит от величины национального дохода на предыдущем этапе, т.е., что

.

(4.2)

Условие (2.1) равенства спроса и предложения в динамическом варианте имеет вид:

.

(4.3)

Подставляя в (4.3) выражения для из (4.1) и выражения для из (4.2) , находим:

.

(4.4)

Уравнение (4.4) известно как уравнение Хикса. Оно представляет собой линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (если предположить, что на протяжении рассматриваемых периодов величины a и V постоянны).

Замечание 4.1.Методы решения данного класса уравнений во многом аналогичны решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Так, общее решение уравнения (4.4) определяется по формуле

,

(4.5)

где - некоторое частное решение уравнения (4.4), - общее решение соответствующего однородного уравнения (т. е. в предположении, что ), в нашем случае это уравнение:

.

(4.6)

Замечание 4.2.Для нахождения общего решения уравнения (4.6) необходимо сперва решить характеристическое уравнение

.

(4.7)

После этого могут возникнуть три варианта.

1) Оба корня и действительны и различны. Тогда общее решение находится по формуле:

,

(4.8)

где и - произвольные константы, - положительное целое число.

2) Оба корня действительны и равны , тогда

.

(4.9)

3) В случае комплексно сопряженных корней

.

(4.10)

Замечание 4.3.Чтобы определить константы А1 и А2, необходимо задать начальные условия

.

(4.11)

В нашем случае это означает, что необходимо зафиксировать первоначальный уровень национального дохода и уровень национального дохода на первом этапе.

Замечание 4.4.Мы можем легко найти частное решение уравнения (4.4), если положим, что

,

(4.12)

т. е. использовав в качестве частного решения равновесное решение . Имеем . Откуда

.

(4.13)

 

Пример 4.1.Рассмотрим модель Самуэльсона при условии, что В этом случае на основании (4.13) получаем, что частным решением (4.4) будет

.

(4.14)

Найдем корни характеристического уравнения

.

(4.15)

Имеем . Таким образом,

.

А следовательно, в силу (4.5) и (4.14),

.

Учитывая, что и , получаем

Откуда находим, что и . Следовательно,

.

Замечание 4.5.В зависимости от значений и возможны четыре типа динамики. Она может быть растущей или затухающей и при этом иметь или не иметь колебательный характер. Так, в рассмотренном выше примере динамика носила колебательный с возрастающей амплитудой характер. Мы рекомендуем читателю самостоятельно определить виды динамики в зависимости от и .

Замечание 4.6.Если , то из (4.1) следует, что . Это означает, что основные фонды уменьшились на величину .

Замечание 4.7.В некоторых более общих моделях в правую часть уравнений (4.8) могут вводиться дополнительные слагаемые (например, величина государственных расходов G(t)), т. е.

.

(4.16)

В силу этого уравнение Хикса (4.4) принимает вид:

.

(4.17)

При этом часто постулируется, что государственные расходы имеют постоянный темп роста , т. е., что

.

(4.18)

Или, что то же самое,

.

(4.19)

Отсюда нетрудно найти, что

.

(4.20)

Частное решение уравнения Хикса в данном случае следует писать в виде

.

(4.21)

где - некоторая константа.

Пример 4.2.В модель Самуэльсона-Хикса, рассмотренную в примере 4.1, внесем следующие изменения, положив, что и (отсюда следует, что ) и соответственно изменив начальные условия:

Уравнение Хикса в данном случае принимает вид

.

(4.22)

Частное решение (4.22) на основании (4.21) будем искать в виде:

.

(4.23)

Подставляя это выражение для в (4.17), находим

.

Отсюда после упрощений получаем, что

,

или , т. е. . Следовательно, .

Очевидно, что характеристическое уравнение в данном случае будет совпадать с характеристическим уравнением (4.15), рассмотренным в примере 4.1. Поэтому.

.

Положив здесь получим, что и , т. е.

.