Продуктивность модели Леонтьева

Рассмотрим экономическую систему, состоящую n отраслей, каждая из которых производит однородный продукт. Пусть - матрица прямых затрат (матрица Леонтьева), ее элементы показывают, какое колличество продукции отрасли затрачивается на производство единицы продукции отрасли .

Обозначим

- вектор валового выпуска отраслей,

- вектор конечного потребления.

Уравнения межотраслевого баланса, как известно, имет вид:

,

(6.1)

или в матричной форме

.

(6.2)

Заметим, что и - векторы с неотрицательными компонентами. Основную задачу межотраслевого баланса можно сформулировать следующим образом: зная матрицу Леонтьева и объемы конечного потребления , найти объемы валового выпуска всех oтраслей .

Определение 6.1.Неотрицательная матрица называется продуктивной, если для любого неотрицательного вектора существует неотрицательное решение системы (6.2).

Имеет место

Теорема 6.1Hеотрицательная матрица продуктивна тогда и только тогда, когда ее число Фробениуса меньше единицы.

Доказательство. Пусть матрица — продуктивна. Тогда для любого вектора существует решение системы (6.2). Пусть , тогда, очевидно, . Умножим равенство (6.2) слева на левый вектор Фробениуса, имеем

, или .

Так как , , то и . Поэтому из последнего равенства вытекает, что .

Обратно, пусть имеет число Фробениуса . Покажем, что она продуктивна. Зададим и покажем, что у системы (6.2) существует решение . Рассмотрим следующую неотрицательную матрицу размера

.

где — элементы матрицы ; — координаты вектора . В более компактной форме матрицу можно записать так:

.

Умножая эту матрицу слева на - вектор , где легко убедиться, что . Следовательно, одно из собственных значений матрицы является .

Пусть вектор является собственным вектором матрицы , т.е. . Это в силу определения матрицы равносильно тому, что

,

(6.3)

или

.

(6.4)

Если , то из (6.4) следует, что , в силу чего (6.4) примет вид . Следовательно, — собственное значение матрицы и, по нашему предположению, . Таким образом, является положительным и максимальным по модулю собственным значением, следовательно, является числом Фробениуса. По теореме Фробениуса-Перрона у матрицы существует неотрицательный собственный вектор , соответствующий . Очевидно, что , так как в противном случае из (6.4) следовало бы, что . А это противоречит тому, что число Фробениуса . Поэтому мы можем считать, что (очевидно, что вектор также является вектором Фробениуса). Равенство (6.4) в силу того, что принимает вид . Причем, так как, , то . Следовательно, матрица —продуктивна.

Следствие 6.1.Если сумма любого столбца матрицы (любой строки) меньше единицы, то матрица продуктивна.

Справедливость данного утверждения вытекает непосредственно из теоремы 1.2. и теоремы 6.1.

С экономической точки зрения сумму элементов столбца матрицы А можно трактовать как суммарные затраты отрасли на выпуск единицы продукции. Если эти затраты меньше единицы, то отрасль рентабельна. Таким образом, следствие 6.1. утверждает что, если все отрасли рентабельны, то матрица А - продуктивна.