Экономизация. - раздел Математика, Обзор возможностей математических пакетов MathCAD 2000, MathLAB 5.0, Mathematica Экономизация Ряда Заключается В Уменьшении Числа Арифметических Операций При ...
Экономизация ряда заключается в уменьшении числа арифметических операций при условии сохранения заданной точности вычисления функции. Данный приём использует свойство полиномов Чебышева сводить к минимуму максимальную ошибку приближения. Экономизация основывается на изменении структуры ряда в сторону увеличения сходимости, при этом в отдельных случаях удаётся уменьшить число членов ряда.
В нашем случае наибольшая погрешность возникает на правой границе интервала приближения функции, с другой стороны полиномы Чебышева действуют на интервале (-1, 1), поэтому вычисления будем производить для x=0,99.
Замечание. Если вычисление необходимо произвести на более широком интервале (a, b), то предварительно следует провести линейное преобразование системы координат, т.е. ввести новую переменную , которая принадлежит интервалу (-1, 1), а все вычисления производить для функции .
Из формулы (2.65) и условий задачи оценим методическую погрешность, с которой необходимо вычислять функцию sin(x).
При x = 0,99 имеем .
Метод экономизации основывается на замене степенных функций xn разложениями по полиномам Чебышева, например, . Можно показать, что при таких заменах коэффициент при старшей степенной функции будет равен , где an - коэффициент при старшей степенной функции в формуле Тейлора. Если для знакопеременного
степенного ряда , член можно отбросить.
n
bn
Rn(x)
0,25
0,1617165
0,0416667
0,0400248
0,0052083
0,0079249
0,0005208
0,0013076
4,34E-05
0,0001849
3,1E-06
2,289E-05
1,938E-07
2,517E-06
1,076E-08
2,492E-07
Таблица 2.13 В табл. 2.13 верхние оценки остаточного члена в формуле Тейлора при x = 0,99 и коэффициентов при старших членах экономизированного ряда. Из таблицы видно, что для функции sin(x) экономизация возможна начиная с n = 5 на один член рада. В нашем случае при экономизация невозможна.
Тем не менее, покажем технику экономизации в тех случаях, если это возможно. Пусть n = 5. В этом случае при x = 0,99 .
Для , произведя замену , после приведения подобных членов получим: . Отбросив последний член ряда, имеем: .
Степень последнего многочлена на два порядка меньше, чем в формуле Тейлора, и в то же время удовлетворяет заданной точности вычисления.
3. Тестирование в пакете MathCAD программ и алгоритмов, реализующих различные методы вычислений
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Экономизация.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Входной язык системы MathCAD.
Уникальное свойство MathCAD — возможность описания математических алгоритмов в естественной математической форме с применением общепринятой символики для математических знаков, таких, например, как
Формульный редактор.
Фактически система MathCAD интегрирует три редактора: формульный, текстовый и графический. Для запуска формульного редактора достаточно установить курсор мыши в любом свободном месте окна редактиро
Наборные панели и шаблоны.
Подготовка вычислительных блоков облегчается благодаря выводу шаблона при задании того или иного оператора. Для этого в MathCAD служат наборные панели с шаблонами различных математических символов
Возможности символьного процессора (Symbolic)
Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю совокупность формул и формульных преобр
Назначение системы SmartMath.
Система SmartMath более полно использует ядро символьных операций, чем символьные вычисления из подменю позицииSymbolics главного меню, и снимает некоторые ограничения на их выполн
Инструментальная панель
Инструментальная панель командного окна системы MATLAB позволяет обеспечить простой доступ к операциям над М-файлами (рис. 1.4)
Программирование в среде Matlab 5.
Файлы, которые содержат коды языка MATLAB, называются M-файлами. Для создания M-файла используется текстовый редактор; вызову М-файла предшествует присваивание значений входным аргументам; результа
Алгебра.
Одной из самых важных задач, рассматриваемых в алгебре, является нахождение корней многочленов. Пусть, например, требуется найти корни уравнения третьей степени
Анализ.
Наряду с алгебраическими преобразованиями "Математика'' позволяет выполнять операции математического анализа. Базовыми являются операции интегрирования Integrate и дифференцирования D. Проинте
Численные методы.
Значения элементарных функций и многочисленных специальных математических функций в вещественных и комплексных точках с вещественными координатами, можно найти, просто вычислив соответствующие выра
Формульный редактор.
Фактически система MathCAD интегрирует три редактора: формульный, текстовый и графический. Для запуска формульного редактора достаточно установить курсор мыши в любом свободном месте окна редактиро
Наборные панели и шаблоны.
Подготовка вычислительных блоков облегчается благодаря выводу шаблона при задании того или иного оператора. Для этого в MathCAD служат наборные панели с шаблонами различных математических символов.
Возможности символьного процессора (Symbolic)
Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю совокупность формул и формульных преобр
Общая формула для оценки главной части погрешности.
При численном решении математических и прикладных задач почти неизбежно появление на том или ином этапе их решения погрешностей следующих трех типов [1].
а) Погрешность задачи
Графы вычислительных процессов.
Рассмотрим более удобный способ подсчёта распространения ошибки в каком-либо арифметическом вычислении [6].
С этой целью мы будем, изображать последовательность операций в вычислении с пом
Деление
Если выполняется деление a1/a2, то стрелка от a1 к косой черте в кружке получает коэффициент +1, а стрелка от a2 к косой черте в кру
Метод простых итераций.
Метод простых итераций (метод последовательных приближений) решения уравнения f(x) = 0 состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением x = j(x) и построении последовательности x
Порядок выполнения лабораторной работы с помощью метода Ньютона
1. Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x) = 0. Убедиться, что на найденном отрезке [a,b] функция f(x) удовлетворяет условиям сходимости метода Ньютона.
2. Выбрать начал
Метод Вегстейна.
При выводе метода Вегстейна решения задачи о неподвижной точке x=φ(x) будем использовать как аналитические, так и геометрические соображения [1].
Пусть уже найдены:
Метод Чебышева.
Требуется найти вещественный корень уравнения f(x) = 0, изолированный в интервале (a, b). Функция f(x) предполагается непрерывной вместе с производными до n-го порядка включительно, причём в интерв
Метод Данко.
Для отыскания действительного корня уравнения f(x)=0, изолированного в интервале (a, b), рассматривается кривая [5]
Метод простых итераций.
Рассмотрим произвольную нелинейную систему уравнений в Rn [10].
или в более к
Метод Ньютона.
Рассмотрим систему n нелинейных уравнений с n неизвестными
или в векторной форме
f
Метод наискорейшего спуска.
Общий недостаток всех рассмотренных выше методов решения систем нелинейных уравнений – это сугубо локальный характер сходимости, затрудняющий их применение в случаях, когда имеются проблемы с выбор
Аппроксимация с помощью кубического сплайна.
Специальным видом кусочной интерполяции является интерполяция с помощью сплайн-функции. Образованные в процессе такой интерполяции кривые обладают достаточным приближением и образуют кусочно-кубиче
Тригонометрическая интерполяция.
Пусть функция f(х) задана на отрезке [0,2p] таблицей значении f(xi) в равноотстоящих узлах (i=1, 2, ..., 2N
Метод градиентного спуска.
Общая задача нелинейного программирования без ограничений состоит в минимизации функции f(x)=f(x1, x2, ..., xп}, заданной во всем n-мерном евклидовом
Минимизация функции методом Нелдера-Мида.
В лабораторных предыдущих работах описаны градиентные методы отыскания локального минимума функции нескольких переменных. В настоящей работе рассматривается один из методов минимизации, в котором в
Порядок выполнения лабораторной работы.
1. Составить подпрограмму-функцию для вычисления значений целевой функции.
2. Составить программу-функцию для нахождения экстремума целевой функции методом Нелдера-Мида.
3. Провес
Метод Эйлера.
Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения y'=f(x,у), удовлетворяющее начальному условию у(х0)=у0. Численное решение задачи состоит
Метод Рунге-Кутта.
Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y¢=f(x, y), удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0.
Численное решение задачи состоит в построени
Решение одной из задач.
В качестве примера возьмём задачу разложения функции в ряд Тейлора (задача №1).
Поскольку ЭВМ способна непосредственно вычислять только функции, содержащие арифметические операции (полином
Моделирование сплайн-интерполяции.
Для исследования сплайн-интерполяции составим программу, вычисляющую сплайн-коэффициенты по граничному условию А.
Функция Spline реализует алгоритм вычисления сплайн-коэффициентов с учётом
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов