Алгебра. - раздел Математика, Обзор возможностей математических пакетов MathCAD 2000, MathLAB 5.0, Mathematica Одной Из Самых Важных Задач, Рассматриваемых В Алгебре, Является Нахождение К...
Одной из самых важных задач, рассматриваемых в алгебре, является нахождение корней многочленов. Пусть, например, требуется найти корни уравнения третьей степени + a x + b = 0, где a и b параметры. Как известно, имеются общие формулы для корней многочленов степени не выше четвертой, содержащие арифметические операции и радикалы [13]. Воспользуемся командой Solve (Решить) для того, чтобы получить корни рассматриваемого уравнения. Команда Solve имеет два аргумента: первый - уравнение, в котором знак равенства записывается с помощью удвоенного символа =, второй - неизвестная, относительно которой решается уравнение.
Solve[x^3 + a x + b == 0, x]
Ответ записан в виде заключенных в фигурные скобки трех выражений. Каждое выражение имеет вид { x -> корень }. Его не следует понимать в том смысле, что x стремится к пределу. Символ -> используется в Математике как знак подстановки! В ответе содержится символ I - мнимая единица. Можно попытаться найти в явном виде корни некоторых полиномиальных уравнений степени выше четвертой.
Solve[x^5 + x - 1 == 0, x]
В данном случае удалось получить корни явно. Обратимся однако к следующему примеру. Пусть требуется вычислить корни многочлена пятой степени :
rts = Solve[x^5 + 2x - 1 == 0, x]
Подобный ответ означает, что формул для корней рассматриваемого уравнения не существует. Тем не менее, можно узнать численное значение всех пяти корней, вычислив выражение N[rts].
N[rts]
Судя по полученному ответу, рассматриваемый многочлен имеет один действительный корень, приближенно равный 0.486389, и четыре комплексных. Если желательна большая точность, ее легко можно получить, указав в качестве второго аргумента функции N число цифр в представлении результата
N[rts, 25]
Можно убедиться в правильности вычисления хотя бы одного, вещественного корня, нарисовав график многочлена с помощью графической функции Plot
Действительно, график рассматриваемого многочлена пересекает ось Ox вблизи от точки x=0.5.
Возвращаясь к решению уравнений, заметим, что "Математика'' умеет численно решать не только полиномиальные, но и трансцендентные уравнения. Правда, если заранее известно, что какое-то уравнение имеет бесконечно много корней, следует указать хотя бы грубое приближение к искомому корню. Последнее можно найти, нарисовав график соответствующей функции. Предположим, что нам нужно найти наибольшийя корень уравнения 0.1x = Sin[x]. Поскольку 0 есть корень этого уравнения, а при x > 10 корней, очевидно, нет, нарисуем график функции 0.1x-Sin[x] на отрезке [0, 10]
Мы видим, что наибольший корень уравнения приближенно равен 8. Уточним его значение с помощью команды FindRoot.
FindRoot[0.1 x-Sin[x]==0, {x, 8}]
Команда Solve для уравнений с параметрами находит общее решение, которое, однако, может не иметь смысла при некоторых частных значениях параметров. Например, решения квадратного уравнения a+ bx + c == 0 даются формулами Виета:
Solve[a*x^2 + b* x + c == 0, x]
Эти формулы для корней не имеют смысла при a = 0. Анализ подобных случаев производит функция Reduce.
Reduce[a* x^2 + b* x + c == 0, x]
Ответ содержит логические функции && (логическое И) и ИИ (логическое ИЛИ). Проведенный анализ показывает, что при a ¹ 0, справедливы общие формулы Виета. При a = 0, b ¹ 0 решение равно - , а при a = 0, b = 0 и c = 0 любое число есть корень уравнения [13].
"Математика" позволяет также проводить тригонометрические преобразования. Они основаны на трактовке тригонометрических функций как рациональных функций от . Воспользуемся командой Simplify (Упростить) для преобразования следующего тригонометрического выражения
Входной язык системы MathCAD.
Уникальное свойство MathCAD — возможность описания математических алгоритмов в естественной математической форме с применением общепринятой символики для математических знаков, таких, например, как
Формульный редактор.
Фактически система MathCAD интегрирует три редактора: формульный, текстовый и графический. Для запуска формульного редактора достаточно установить курсор мыши в любом свободном месте окна редактиро
Наборные панели и шаблоны.
Подготовка вычислительных блоков облегчается благодаря выводу шаблона при задании того или иного оператора. Для этого в MathCAD служат наборные панели с шаблонами различных математических символов
Возможности символьного процессора (Symbolic)
Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю совокупность формул и формульных преобр
Назначение системы SmartMath.
Система SmartMath более полно использует ядро символьных операций, чем символьные вычисления из подменю позицииSymbolics главного меню, и снимает некоторые ограничения на их выполн
Инструментальная панель
Инструментальная панель командного окна системы MATLAB позволяет обеспечить простой доступ к операциям над М-файлами (рис. 1.4)
Программирование в среде Matlab 5.
Файлы, которые содержат коды языка MATLAB, называются M-файлами. Для создания M-файла используется текстовый редактор; вызову М-файла предшествует присваивание значений входным аргументам; результа
Анализ.
Наряду с алгебраическими преобразованиями "Математика'' позволяет выполнять операции математического анализа. Базовыми являются операции интегрирования Integrate и дифференцирования D. Проинте
Численные методы.
Значения элементарных функций и многочисленных специальных математических функций в вещественных и комплексных точках с вещественными координатами, можно найти, просто вычислив соответствующие выра
Формульный редактор.
Фактически система MathCAD интегрирует три редактора: формульный, текстовый и графический. Для запуска формульного редактора достаточно установить курсор мыши в любом свободном месте окна редактиро
Наборные панели и шаблоны.
Подготовка вычислительных блоков облегчается благодаря выводу шаблона при задании того или иного оператора. Для этого в MathCAD служат наборные панели с шаблонами различных математических символов.
Возможности символьного процессора (Symbolic)
Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю совокупность формул и формульных преобр
Общая формула для оценки главной части погрешности.
При численном решении математических и прикладных задач почти неизбежно появление на том или ином этапе их решения погрешностей следующих трех типов [1].
а) Погрешность задачи
Графы вычислительных процессов.
Рассмотрим более удобный способ подсчёта распространения ошибки в каком-либо арифметическом вычислении [6].
С этой целью мы будем, изображать последовательность операций в вычислении с пом
Деление
Если выполняется деление a1/a2, то стрелка от a1 к косой черте в кружке получает коэффициент +1, а стрелка от a2 к косой черте в кру
Метод простых итераций.
Метод простых итераций (метод последовательных приближений) решения уравнения f(x) = 0 состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением x = j(x) и построении последовательности x
Порядок выполнения лабораторной работы с помощью метода Ньютона
1. Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x) = 0. Убедиться, что на найденном отрезке [a,b] функция f(x) удовлетворяет условиям сходимости метода Ньютона.
2. Выбрать начал
Метод Вегстейна.
При выводе метода Вегстейна решения задачи о неподвижной точке x=φ(x) будем использовать как аналитические, так и геометрические соображения [1].
Пусть уже найдены:
Метод Чебышева.
Требуется найти вещественный корень уравнения f(x) = 0, изолированный в интервале (a, b). Функция f(x) предполагается непрерывной вместе с производными до n-го порядка включительно, причём в интерв
Метод Данко.
Для отыскания действительного корня уравнения f(x)=0, изолированного в интервале (a, b), рассматривается кривая [5]
Метод простых итераций.
Рассмотрим произвольную нелинейную систему уравнений в Rn [10].
или в более к
Метод Ньютона.
Рассмотрим систему n нелинейных уравнений с n неизвестными
или в векторной форме
f
Метод наискорейшего спуска.
Общий недостаток всех рассмотренных выше методов решения систем нелинейных уравнений – это сугубо локальный характер сходимости, затрудняющий их применение в случаях, когда имеются проблемы с выбор
Аппроксимация с помощью кубического сплайна.
Специальным видом кусочной интерполяции является интерполяция с помощью сплайн-функции. Образованные в процессе такой интерполяции кривые обладают достаточным приближением и образуют кусочно-кубиче
Тригонометрическая интерполяция.
Пусть функция f(х) задана на отрезке [0,2p] таблицей значении f(xi) в равноотстоящих узлах (i=1, 2, ..., 2N
Метод градиентного спуска.
Общая задача нелинейного программирования без ограничений состоит в минимизации функции f(x)=f(x1, x2, ..., xп}, заданной во всем n-мерном евклидовом
Минимизация функции методом Нелдера-Мида.
В лабораторных предыдущих работах описаны градиентные методы отыскания локального минимума функции нескольких переменных. В настоящей работе рассматривается один из методов минимизации, в котором в
Порядок выполнения лабораторной работы.
1. Составить подпрограмму-функцию для вычисления значений целевой функции.
2. Составить программу-функцию для нахождения экстремума целевой функции методом Нелдера-Мида.
3. Провес
Метод Эйлера.
Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения y'=f(x,у), удовлетворяющее начальному условию у(х0)=у0. Численное решение задачи состоит
Метод Рунге-Кутта.
Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y¢=f(x, y), удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0.
Численное решение задачи состоит в построени
Решение одной из задач.
В качестве примера возьмём задачу разложения функции в ряд Тейлора (задача №1).
Поскольку ЭВМ способна непосредственно вычислять только функции, содержащие арифметические операции (полином
Экономизация.
Экономизация ряда заключается в уменьшении числа арифметических операций при условии сохранения заданной точности вычисления функции. Данный приём использует свойство полиномов Чебышева сводить к м
Моделирование сплайн-интерполяции.
Для исследования сплайн-интерполяции составим программу, вычисляющую сплайн-коэффициенты по граничному условию А.
Функция Spline реализует алгоритм вычисления сплайн-коэффициентов с учётом
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
+ a x + b = 0, где a и b параметры. Как известно, имеются общие формулы для корней многочленов степени не выше четвертой, содержащие арифметические операции и радикалы [13]. Воспользуемся командой Solve (Решить) для того, чтобы получить корни рассматриваемого уравнения. Команда Solve имеет два аргумента: первый - уравнение, в котором знак равенства записывается с помощью удвоенного символа =, второй - неизвестная, относительно которой решается уравнение.
:
с помощью графической функции Plot
+ bx + c == 0 даются формулами Виета:
, а при a = 0, b = 0 и c = 0 любое число есть корень уравнения [13].
. Воспользуемся командой Simplify (Упростить) для преобразования следующего тригонометрического выражения
Новости и инфо для студентов