Введение в математический анализ

Введение в математический анализ

Математический анализ (анализ бесконечно малых) изучает функции и их обобщения методом бесконечно малых величин.

В природе и технике всюду наблюдаются движения и процессы, являющиеся проявлением взаимодействия между физическими телами или средами. Математической моделью движений (т.е. переменных величин) являются функции, выражающие изменения одних величин с изменением других. Отсюда следует важность математического анализа в прикладной математике.

Основными разделами математического анализа являются: дифференциальное и интегральное исчисления.

Действительные числа

Совокупность рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных чисел. Иррациональные числа представляются бесконечной непериодической десятичной… В то время, как рациональные числа, т.е. числа вида представляются бесконечной периодической десятичной дробью.…

Числовые промежутки

1) a ≤ х ≤ b - отрезок (сегмент), обозначение - [a, b] разность b – a называется длиной отрезка; 2) a < х < b - интервал, обозначение – (a, b);

Числовые последовательности

{xn} = x1, х2, …, хn Последовательность можно задать различными способами – главное, чтобы был… Например: xn = (-1)n или {xn} = -1; 1; -1; 1; …

Функции одной переменной

Функциональная зависимость

Следует отметить, что функциональная зависимость является математической моделью любых процессов и явлений для детерминированных событий,… Визуализация функциональной зависимости была рассмотрена в разделе 3.7… Существуют три способа задания функций:

Характеристики поведения функции

2. Пусть функция у = f (х), определена на множестве Х, тогда если для любых двух значений х1, х2 Х аргументов из неравенства х1< х2 следует… 1) f(х1) < f(х2) , то функция называется возрастающей на множестве Х. (большему значению аргумента соответствует большее значение функции);

Обратная функция

Примеры: 1. Для функции обратной функцией будет ; 2. Для функции , заданной на отрезке [-1, 1] , обратной функции не существует,… Из определения обратной функции следует, что функция у = f (х) имеет обратную в том случае, если функция f (х) задаёт…

Сложная функция

Например, сложная функция, определённая на множестве (-∞, 0) (-1, +∞) , так как у = f (z) = , z = φ (х) = .

Основные элементарные функции

Основными элементарными функциями называют следующие функции. 1) Степенная функция , где α – действительное число. 2) Показательная функция .

Предел функции

Рис. 4.1 Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х ® а, если для любого e > 0 существует такое число…

Бесконечно малые функции и их свойства

Теорема(о связимежду функцией, её пределом и бесконечно малой функцией) Для того, чтобы функция f(x) при х® а имела предел, равный А, необходимо и… f(x) = A + a(x),

Бесконечно малыми.

. Графически поведение бесконечно больших функций в а при х ® а можно…

Основные теоремы о пределах

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а. Теорема 2. Доказательство теоремы. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где ,

Два замечательных предела.

Первый замечательный предел.

. Доказательство. Рассмотрим в круге радиуса 1 острый угол х (МОВ), хорду МВ и… На основании предыдущего неравенства площадей имеем

Второй замечательный предел

. число е иррациональное и его значение равно 2,71828… Если рассмотреть неравенство

Непрерывность функции в точке и классификация разрывов

Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Возможны также и другие определения непрерывности функции в точке:

1) функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого положительного числа e > 0 существует такое число δ > 0, что для любых х, удовлетворяющих условию

верно неравенство .

2) функция f(x) называется непрерывной в точке х = х₀, если приращение функции в точке х₀ является бесконечно малой величиной.

f(x) = f(x₀) + a(x)

где a(х) – бесконечно малая при х®х₀.

Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется разрывной функцией, а точка х₀ – точкой разрыва.

Классификация точек разрыва.

Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х₀, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х₀ является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней.

Если существует односторонний предел , то функция называется непрерывной справа.

Если существует односторонний предел , то функция называется непрерывной слева.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Для выполнимости условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х₀, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимойточкой разрыва.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Пример 1. Функция f(x) = имеет в точке х₀ = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к. .

Пример 2. f(x) =

Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел , т.е. в точке х = 0 функция имеет точку разрыва 1 – го рода. Это – устранимая точка разрыва, т.к. если доопределить функцию:

График этой функции:

Пример 3. f(x) = =

0 x

-1

Эта функция также обозначается sign(x) – знак х. В точке х = 0 функция не определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва – 1 – го рода. Если доопределить функцию в точке х = 0, положив f(0) = 1, то функция будет непрерывна справа, если положить f(0) = -1, то функция будет непрерывной слева, если положить f(x) равное какому- либо числу, отличному от 1 или –1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа, но во всех случаях тем не менее будет иметь в точке х = 0 разрыв 1 – го рода. В этом примере точка разрыва 1 – го рода не является устранимой.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или… Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Свойство 1. Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке.