Действительные числа

Понятие действительных чисел было рассмотрено раннее в разделе «Обобщение понятия величины».

Совокупность рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных чисел.

Иррациональные числа представляются бесконечной непериодической десятичной дробью. Например, числа =1,414213…, π = 3,141592…, е = 2,718281… - являются иррациональными числами.

В то время, как рациональные числа, т.е. числа вида представляются бесконечной периодической десятичной дробью. Например, 2 = 2,(0) = 1,(9), 1/3 =0,(3), 13/7 = 1,(857142).

Множество действительных чисел или числовая прямая обозначаются как R = { r }. Отметим некоторые свойства этого бесконечного множества чисел.

Прежде всего, R всюду плотно и образует числовой континуум. Числовая прямая R«подобна» геометрической прямой, т.е. между числами из Rи точками на прямой можно установить взаимно однозначное соответствие с сохранением упорядоченности. Важнейшим свойством числовой прямой является её непрерывность. Именно эта непрерывность лежит в основании математического анализа и составляет основу теории пределов.

Отметим также и другую особенность числового множества R, которая вообще характерна для многих бесконечных множеств. Рассмотрим понятие мощности бесконечного множества Rэто понятие эквивалентно понятию количества членов конечного множества. Мощности бесконечных множеств могут быть различными, например, множества натуральных чисел N, которое является подмножеством действительных чисел (NR) обладает мощностью счётного множества, в то время как Rимеет мощность континуального множества. Покажем, что мощность числового отрезка от нуля до единицы имеет такую же мощность, как и вся полубесконечная числовая прямая (от нуля до плюс бесконечность), т.е. часть по мощности равна целому. Проведём следующие рассуждения. Выделим на полубесконечной числовой оси единичный отрезок. Поставим во взаимнооднозначное соответствие точки единичного отрезка ОА с точками полубесконечной прямой, следующим образом (см рис 4.1):

Рис.4.1.

· из начальной точке О полуоси Ox построим единичный отрезок OA под некоторым углом φ к полуоси;

· проведём перпендикуляр к числовой оси из точки О;

· из конца А единичного отрезка OA проводится линия параллельная числовой оси;

· точку пересечения данной линии с перпендикуляром обозначим как S и назовём её проектором;

· проводится луч (произвольным образом) из проектора S на числовую полуось. Он пересекает единичный отрезок в точке М₁ , а полуось Ox в точке М.

Таким образом, установлено взаимнооднозначное соответствие между точками единичного отрезка ОА и точками полуоси Ох. Каждой точке М₁ отрезка ОА посредством луча проектора отвечает точка М оси х, и наоборот. Точке О отреза соответствует точка О оси, а точка А отрезка соответствует бесконечно удалённая точка оси. Т.е. мощность числового множества полуоси равна мощности числового подмножества единичного отрезка.

Эти два свойства множества действительных чисел (свойство непрерывности и свойство континуальности) позволяют в дальнейшем проводить математический анализ непрерывных переменных величин на любом промежутке.

Заметим, что конечный числовой отрезок эквивалентен по мощности единичному отрезку, если сделать замену переменной , .

Рассмотрим далее некоторые, часто используемые, числовые множества.