Реферат Курсовая Конспект
Теорема 3. - раздел Математика, ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Пусть Векторы ...
|
Пусть векторы имеют в ортонормированном базисе координаты . Тогда смешанное произведение этих векторов можно представить в виде
.
доказательство. .
По теореме о векторном произведении:
.
Умножим векторное произведение скалярно на вектор :
.
По следствию 2 необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю определителя, составленного из координат векторов:
компланарны.
Пример 3. Даны четыре точки: . Найти объем тетраэдра АВСD.
Решение. Объем тетраэдра равен одной шестой объема параллелепипеда с теми же основанием и высотой:
.
Координаты векторов .
По теореме 3
.
Тема: НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Определение взаимной ориентации векторов в пространстве:
Определение взаимной ориентации векторов а, b и с основано на следующих соображениях. Если abc > 0 , то а , b , с — правая тройка; если abc <0 , то а, b , с - левая тройка.
Установление компланарности векторов:
Векторы а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю
Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды:
Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с вычисляется как V =|аbс|, а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен V =1/6*|abc |.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА».
Задача 1. Разложить вектор по векторам
Решение. Разложить вектор по векторам – значит представить его в виде
(1)
где - неизвестные пока числа. Переходя в равенстве (1) к координатам векторов, получим
Как известно у равных векторов равны соответствующие координаты,
(2)
Решив систему (2), найдём . Следовательно, .
Задача 2. Найти вектор коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
Решение. В силу коллинеарности векторов и вектор можно представить в виде где – пока неизвестный множитель. Для его определения используем второе условие:
.
Отсюда , поэтому .
Задача 3. Найти вектор , перпендикулярный векторам и и образующий с осью Ох тупой угол, если .
Решение. Найдём вектор .
Так как перпендикулярен векторам и , то он коллинеарен вектору . Следовательно, .
По условию т.е. или . Вектор образует тупой угол с осью Ох, поэтому его проекция на эту ось должна быть отрицательной, отсюда и .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА... ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ... АЛГЕБРА МАТРИЦ ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теорема 3.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов