рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Алгебра множеств. Осн. тождества алгеб. множеств

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Алгебра множеств. Осн. тождества алгеб. множеств

Алгебра множеств. Осн. тождества алгеб. множеств - раздел Математика, Множество. Подмножество, собственное подмножество. Отношение принадлежности. Отношение включения Множества Вместе С Определенными На Них Операциями Образуют Алгебру Множес...

Множества вместе с определенными на них операциями образуют алгебру множеств. Последовательность выполнения операций задается с помощью формулы алгебры множеств. Например, Ç (ВÈC), (А В) + C – формулы алгебры множеств.

Двойное дополнение. = A.

Закон исключенного третьего. A È= U.

№6. Операции с пустым и универсальным множествами.

а) A È U = U; б) A È Æ = A; в) A Ç U = A;г) A Ç Æ = Æ; д) = U; е) = Æ.

№7. Эквивалентность множеств

Определение.Если каждому элементу множества A сопоставлен единственный элемент множества B и при этом всякий элемент множества B оказывается сопоставленным одному и только одному элементу множества A, то говорят, что между множествами A и B существует взаимно однозначное соответствие. Множества A и B в этом случае называют эквивалентными или равномощными.

Эквивалентность множеств обозначается следующим образом: A ~ B.

Эквивалентность множеств обладает следующим свойством транзитивности.

Если A ~ B и B ~ C, то A ~ C.

№8. Мощностью конечного множества А (обозначается çАç) называется число элементов этого множества. Например, мощность множества А = {1, 2} равна çАç= 2.

çАÈB ç= çА ç+ çB ç– çАÇB/; çАÈBÈ Сç= çА ç+ çB ç+ çC ç– çАÇB ç– çАÇC ç– çBÇC ç+ çАÇB ÇC ç

Если множества А_i попарно не пересекаются, т.е. А_i ÇА_j = Æ, i ¹ j, то получим частный случай формулы:

çА₁È А₂È…ÈА_nç= çА₁ç+çА₂ç+…+ çА_nç.

№9. Счетные множества

Определение Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N = {1, 2, 3, …, n,…}, называется счетным. Можно сказать также, что множество счетно, если его элементы можно перенумеровать.

Следующие множества являются счетными: 1. A₁ = {–1, –2, …, – n, …}; 2. A₂ = {2, 2², …, 2ⁿ,…};

Чтобы установить счетность некоторого множества, достаточно указать взаимно однозначное соответствие между элементами данного множества и множества натуральных чисел.

Теорема 1. Всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно.

Теорема 2. Объединение конечной или счетной совокупности счетных множеств счетно.

Теорема 3. Множество всех рациональных чисел, т.е. чисел вида , где p и q целые числа, счетно.

Теорема 4. Если А = {a₁, a₂, …} и B = {b₁, b₂, …} – счетные множества, то множество всех пар С = {(a_k, b_n), k = 1, 2,…; n = 1, 2, …} счетно.

Теорема 5. Множество всех многочленов P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ любых степеней с рациональными коэффициентами a₀, a₁, a₂, … a_n счетно.

Теорема 6.Множество всех корней многочленов любых степеней с рациональными коэффициентами счетно.

№10. Множества мощности континуума

Существуют бесконечные множества, элементы которых нельзя перенумеровать. Такие множества называются несчетными.

Теорема Кантора. Множество всех точек отрезка [0, 1] несчетно.

Множество, эквивалентное множеству всех точек отрезка [0, 1] называется множеством мощности континуума. Так как множества точек интервалов, отрезков и всей прямой эквивалентны между собой, то все они имеют мощность континуума. Чтобы доказать, что данное множество имеет мощность континуума, достаточно указать взаимно однозначное соответствие между данным множеством и множеством точек отрезка, интервала или всей прямой.

Теорема 1. Множество всех подмножеств счетного множества счетно.

Теорема 2. Множество иррациональных чисел имеет мощность континуума.

Теорема 3. Множество всех точек n-мерного пространства при любом n имеет мощность континуума.

Теореа 4. Множество всех комплексных чисел имеет мощность континуума.

Теорема 5.Множество всех непрерывных функций, определенных на отрезке [a, b] имеет мощность континуума.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Множество. Подмножество, собственное подмножество. Отношение принадлежности. Отношение включения

Пусть r отношение эквивалентности на множестве X и x Icirc X Классом эквивалентности порожденным элементом x называется подмножество множества... Таким образом x y Icirc X xry... Классы эквивалентности образуют разбиение множества X т е систему непустых попарно непересекающихся его...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Алгебра множеств. Осн. тождества алгеб. множеств

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Множество. Подмножество, собственное подмножество. Отношение принадлежности. Отношение включения.
Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики. Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое

Основные тождества алгебры множеств
Для любых множеств A, B, C справедливы следующие тождества: 1. Коммутативность. а) A È B = B È A (для

Основные тождества алгебры множеств
Для произвольных множеств А, В, и С справедливы следующие соотношения 1. Коммутативность объединения

Упорядоченная пара, прямое декартово произведение
Если задана пара {a, b} , то множество {a, {a, b}} называется упорядоченной парой и обозначается(a, b) . При этом элемент a называется первым элементом, а элемент b — вторым элементом пары. В форма

Композиция отношений
Композицией (произведением, суперпозицией) бинарных отношений и

Симметричность
Симметричность в математике и логике, свойство бинарных (двуместных, двучленных) отношений, выражающее независимость выполнимости данного отношения для какой-либо пары объектов от порядка, в которо

Транзитивность
свойство бинарных (двуместных) отношений: отношение R наз. т р а н з и т и в н ы м, если для любых элементов х, у и z множества, на к-ром определено это отношение, из xRy и yRz следует xRz. Примера

Сюръективность, инъективность, биективность
Определение. Функция (отображение) f называется сюръективной или просто сюръекцией, если ля любого элемента y

Эквивалентность
Теорема: каждое отношение эквивалентности, определенное на А, соответствует некоторому разбиению множества А. Всякое разбиение множества А соответствует некоторому отношению эквива

Отношения частичного порядка
Отношение r называется отношением частичного порядка (или просто частичным порядком) на множестве X, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно на множестве X.

Рекурсивная процедура
Процедура называется рекурсивной, если она прямо или косвенно обращается к себе самой. Рекурсия является естественным свойством для большого числа математических и вычислительных алгоритмов. Важно

N_местная функция
Используя канторовскую функцию с, можно определить последовательность общерекурсивных функций такую что - n_местная функция, осуществляющая взаимно-однозначное отображение : Для любого сущ

Определение булевой функции
Булевой функцией f(x1, x2, ... , xn) называется произвольная функция n переменных, аргументы которой x

Формулы логики булевых функций
Формула логики булевых функций определяется индуктивно следующим образом: 1. Любая переменная, а также константы 0 и 1 есть формула. 2. Если A и B – формулы,

Вопр. Равносильные преобразования формул
В отличие от табличного задания представление функции формулой не единственно. Например, две различные формулы x1Vx2 и (x

Булева алгебра (алгебра логики). Полные системы булевых функций.
Булевой алгеброй - называется непустое множество A с двумя бинарными операциями (

Основные характеристики графов.
В математической теории графов и информатике граф — это совокупность непустого множества вершин и множества пар вершин (связей между вершинами). Объекты представляются как

Основные свойства матриц смежности и инцидентности
— Матрица смежности неориентированного графа является симметричной, для ориентированного графа это не верно. — Сумма элементов i-той строки/i-того столбца матрицы смежности неориентированн

Изоморфизм графов
В теории графов изоморфизмом графов и

Предполагается, что ориентированный граф не содержит контуров отрицательной длины.
Алгоритм 3.1 (Алгоритм Форда – Беллмана). Основными вычисляемыми величинами этого алгоритма являются величины j(k), где i = 1, 2, … , n

Деревья. Основные определения
Неориентированным деревом(или просто деревом) называется связный граф без циклов. Этому определению эквивалентны, как легко показать, следующие определения: а) дерево есть св

Минимальные остовные деревья нагруженных графов
Граф G = (X, A) называется нагруженным, если для каждого ребра (xi,xj) определена его длина (или вес) cij.

Основные задачи управления
Задачами теории управления являются: · синтез структуры и параметров объекта управления, соответствующих цели (закону функционирования) создаваемой системы с управлением;

Структура системы с управлением
В теории управления принято считать, что системы с управлением создаются для достижения конкретных целей, которые определяются в рамках других наук, занимающихся исследованием конкретных систем. В

Цель автоматизации управления
В общем случае, систему управления можно рассматривать в виде совокупности взаимосвязанных управленческих процессов и объектов. Обобщенной целью автоматизации управления является повышение эффектив

Состав задачи системного анализа в процессе создания информационных систем
В состав задач системного анализа в процессе создания информационных систем входят задачи декомпозиции, анализа и синтеза. Задачи декомпозиции: означает представление системы в виде подсис

Система как Семантическая модель
Семантическая модель - представление понятий в виде графа, в вершинах которого расположены понятия, в терминальных вершинах - элементарные понятия, а дуги представляют отношения ме

Понятие и модели сложных систем.
Центральной концепцией теории систем, кибернетики, системного подхода, всей системологии является понятие «системы».Первое определение системы.Начнем с рассмотрения искусственных, т.е. создаваемых

Система как семантическая модель.
Сущность любой системы и любого ее элемента могут быть адекватно поняты только в их взаимодействии с другими окружающими системами и другими элементами. Познание сути вещей означает познание их вза

Задача на условный экстремум(общий алгоритм). Функция Лагранжа
Алгоритмнеопределённогомножителей Лагранжа для нахождения условного экстремума: Составляется функция Лагранжа: