Упорядоченная пара, прямое декартово произведение - раздел Математика, Множество. Подмножество, собственное подмножество. Отношение принадлежности. Отношение включения Если Задана Пара {A, B} , То Множество {A, {A, B}} Называется Упорядоченной П...
Если задана пара {a, b} , то множество {a, {a, b}} называется упорядоченной парой и обозначается(a, b) . При этом элемент a называется первым элементом, а элемент b — вторым элементом пары. В формальной математике первый элемент упорядоченной пары A=(a, b)называется также первой координатой или первой проекцией и обозначается. Аналогично второй элемент парыA называется второй координатой или второй проекцией и обозначается. Прямое или декартово произведение — множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих разделах математики благодаря тому, что прямое произведение часто наследует структуры (алгебраические, топологические и т. д.), существующие на перемножаемых множествах..
12. Бинарное отношение, матрица бинарного отношения. Бинарным отношением между элементами множеств А и В называется любое подмножество RÍA´B. Если множества A и B совпадают А=В, то R называют бинарным отношением на множестве А.
Если (x, y)ÎR, то это обозначают еще xRy и говорят, что между элементами x и y установлено бинарное отношение R.
Диагональ множества A´A, т.е. множество D={(x,x) | xÎA}, называется единичным бинарным отношением или отношением равенства в A.
Областью определения бинарного отношения R называется множество dR={ xÎA | yÎB, (x, y) ÎR }.
Областью значений бинарного отношения R называется множество
rR={ yÎB | xÎA, (x, y)ÎR }.
Образом множества X относительно отношения R называется множество R(X) = { yÎB | xÎX, (x, y)ÎR };
прообразом X относительно R называется R -1(X).
Бинарные отношения могут обладать различными свойствами такими как:\1) Рефлексивность2) Антирефлексивность (иррефлексивность): 3)Симметричтоное5) Транзитивность.6) АнтисимметричностьМатричное задание. Оно используется когда А - конечноемножество А={xi}. Тогда отношение R можно задавать с помощью матрицы R={xij}, элементы которой определяются соотношением:1, если R
13. Операции над отношениямиОперации над бинарными отношениями определяются подобно операциям над соответствующими множествами. Пусть А – произвольное множество на котором введены бинарные отношения R, R1, R2,...
1) Объединение двух бинарных отношений R1 и R2 - это отношение
R1ÈR2 = { (x, y) | (x, y)ÎR1 или (x, y)ÎR2 }.
2) Пересечение двух бинарных отношений R1 и R2 - это отношение
R1ÇR2 = { (x, y) | (x, y)ÎR1 и (x, y)ÎR2 }.
3) Обратное отношение R –1 = { (x, y) | (y, x)ÎR}.
4) Дополнение к отношению ={ (x, y) | (x, y)Î(A´A)R}.
5) Двойственное отношение Rd = .
6) Композиция (суперпозиция) отношений R=R1oR2 содержит пару (x, y) тогда и только тогда, когда существует такое zÎA, что (x, y)ÎR1 и (z, y)ÎR2.
7) R1 содержится в R2 (R1Í R2), если любая пара (x, y), которая принадлежит отношению R1 также принадлежит и отношению R2.
Обратное отношение – это отношение, взятое в обратном порядке по отношению к данному. Пусть на множестве Х задано бинарное отношение R, тогда его обратным отношением называется отношение , построенное следующим образом:
Cвойства: если отношение обладает одним из перечисленных свойств: рефлексивностью, нерефлексивностью, симметрией, антисимметрией, асимметрией, транзитивностью или полнотой, то и обратное отношение также обладает им..
Пусть r отношение эквивалентности на множестве X и x Icirc X Классом эквивалентности порожденным элементом x называется подмножество множества... Таким образом x y Icirc X xry... Классы эквивалентности образуют разбиение множества X т е систему непустых попарно непересекающихся его...
Алгебра множеств. Осн. тождества алгеб. множеств
Множества вместе с определенными на них операциями образуют алгебру множеств. Последовательность выполнения операций задается с помощью формулы алгебры множеств. Например,
Композиция отношений
Композицией (произведением, суперпозицией) бинарных отношений и
Симметричность
Симметричность в математике и логике, свойство бинарных (двуместных, двучленных) отношений, выражающее независимость выполнимости данного отношения для какой-либо пары объектов от порядка, в которо
Транзитивность
свойство бинарных (двуместных) отношений: отношение R наз. т р а н з и т и в н ы м, если для любых элементов х, у и z множества, на к-ром определено это отношение, из xRy и yRz следует xRz. Примера
Эквивалентность
Теорема: каждое отношение эквивалентности, определенное на А, соответствует некоторому разбиению множества А. Всякое разбиение множества А соответствует некоторому отношению эквива
Отношения частичного порядка
Отношение r называется отношением частичного порядка (или просто частичным порядком) на множестве X, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно на множестве X.
Рекурсивная процедура
Процедура называется рекурсивной, если она прямо или косвенно обращается к себе самой. Рекурсия является естественным свойством для большого числа математических и вычислительных алгоритмов. Важно
N_местная функция
Используя канторовскую функцию с, можно определить последовательность общерекурсивных функций такую что - n_местная функция, осуществляющая взаимно-однозначное отображение :
Для любого сущ
Определение булевой функции
Булевой функцией f(x1, x2, ... , xn) называется произвольная функция n переменных, аргументы которой x
Формулы логики булевых функций
Формула логики булевых функций определяется индуктивно следующим образом:
1. Любая переменная, а также константы 0 и 1 есть формула.
2. Если A и B – формулы,
Вопр. Равносильные преобразования формул
В отличие от табличного задания представление функции формулой не единственно. Например, две различные формулы
x1Vx2 и (x
Основные характеристики графов.
В математической теории графов и информатике граф — это совокупность непустого множества вершин и множества пар вершин (связей между вершинами).
Объекты представляются как
Основные свойства матриц смежности и инцидентности
— Матрица смежности неориентированного графа является симметричной, для ориентированного графа это не верно.
— Сумма элементов i-той строки/i-того столбца матрицы смежности неориентированн
Деревья. Основные определения
Неориентированным деревом(или просто деревом) называется связный граф без циклов. Этому определению эквивалентны, как легко показать, следующие определения:
а) дерево есть св
Основные задачи управления
Задачами теории управления являются:
· синтез структуры и параметров объекта управления, соответствующих цели (закону функционирования) создаваемой системы с управлением;
Структура системы с управлением
В теории управления принято считать, что системы с управлением создаются для достижения конкретных целей, которые определяются в рамках других наук, занимающихся исследованием конкретных систем. В
Цель автоматизации управления
В общем случае, систему управления можно рассматривать в виде совокупности взаимосвязанных управленческих процессов и объектов. Обобщенной целью автоматизации управления является повышение эффектив
Система как Семантическая модель
Семантическая модель - представление понятий в виде графа, в вершинах которого расположены понятия, в терминальных вершинах - элементарные понятия, а дуги представляют отношения ме
Понятие и модели сложных систем.
Центральной концепцией теории систем, кибернетики, системного подхода, всей системологии является понятие «системы».Первое определение системы.Начнем с рассмотрения искусственных, т.е. создаваемых
Система как семантическая модель.
Сущность любой системы и любого ее элемента могут быть адекватно поняты только в их взаимодействии с другими окружающими системами и другими элементами. Познание сути вещей означает познание их вза
. Аналогично второй элемент парыA называется второй координатой или второй проекцией и обозначается
. Прямое или декартово произведение — множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих разделах математики благодаря тому, что прямое произведение часто наследует структуры (алгебраические, топологические и т. д.), существующие на перемножаемых множествах..
множество А={xi}. Тогда отношение R можно задавать с помощью матрицы R={xij}, элементы которой определяются соотношением:1, если 
R
={ (x, y) | (x, y)Î(A´A)R}.
.
, построенное следующим образом: 
Новости и инфо для студентов