рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Дифференциальные уравнения

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения - раздел Математика, Математический анализ. Функции Дифференциа́льное Уравне́ние — Ура...

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе. Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного уравнения.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наивысший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных.

В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных.

Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных — произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). После определения вида указанных постоянных и неопределенных функций решения становятся частными.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения, зависящие от одной независимой переменной; они имеют вид

F(x,y, .

Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функцийy=f(x)+C, которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

Пример 1

1. Решить дифференциальное уравнение .

Итак, на первом этапе переписываем производную в нужном нам виде:

На втором этапе всегда смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.

Дифференциалы dy и dx – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:

Решениеv дифференциального уравнения является,то есть, – это общий интеграл или можно так представить: ln

Представим функцию в явном виде: ln или или у=Сх

Пример 2

Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:

Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:

Перекидываем множители по правилу пропорции:

Переменные разделены, интегрируем обе части:

Интеграл левой части легко найти методом подведения функции под знак дифференциала, с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом, переписываем его как отношение cosx на sinx:

В правой части у нас получился логарифм, согласно технической рекомендации, в этом случае константу тоже следует записать под логарифмом.

Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно (и нужно) избавиться. Максимально «упаковываем» логарифмы. И получаем решение в виде: или окончательно общее решение =

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Математический анализ. Функции

Новороссийск УДК ББК вбя...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Дифференциальные уравнения

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Ванин Ю.П.
Математический анализ в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов. Новороссийск, НФ МГЭИ, 2013. – 130 с. Пособие написано на основе многолетнего опыта чтения лекций

I. Числовая последовательность, предел последовательности
Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность

Общие свойства
В математическом анализе исходят из определения функции по Лобачевскому и Дирихле. Если каждому числу х из некоторого множества F чисел в силу какого-либо. закона приведено в соответствие число

Выражение тригонометрических функций через одну из них того же аргумента
(выбор знака перед корнем зависит от того, в какой четверти находится угол ) Через sinx: Через cosx:

Преобразование степеней синуса и косинуса
Знаки тригонометрических функций Некоторые значения тригонометричес

Непрерывность функции
Непрерывные функции.Важный класс функций, изучаемых в М. а., образуют непрерывные функции. Одно из возможных определений этого понятия: функция y=f(x) от одного

Определение производной
Производная Здесь в логарифм вложена функция синус. Поэтом в начале

Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Установленное приближенное равенство позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции. Запишем приближенное равенство более подробно. Так как , a d

Правило Лопиталя для нахождения предела функции.
1. Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном с

Производные высших порядков
Производная второго порядка функции Производная второго порядка функции : Пример 1. а) Найти производную второго порядка функции У= Решение. Найдем сначала произво

Исследование функций
План полного исследования функции: 1. Элементарное исследование: - найти область определения и область значений; - выяснить общие свойства: четность (нечетность),

Точки экстремума.
Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Фун

Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков.
Пусть в точке х = х1 f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х1.

Астные производные.
Пусть z=f(x,y). Зафиксируем какую-либо точку (x,y), а затем, не меняя закрепленного значения аргумента y, придадим аргументу x приращение Тогда z получит приращен

Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных
Пусть уравнение z=f(x,y) –это уравнение поверхности. Проведем плоскость x=const. L- линия пересечения поверхности с плоскостью x=const. При дан

Частные производные высшего порядка. Смешанные производные.
Как уже отмечали, что производные называют частными производными первого порядка или первыми частными производными. Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на нек

Дифференциал функции двух переменных
Рассмотрим функцию z = f(x,y), имеющую в точке Р0(х0,у0) частные производные x(х0,у

Способ. Тригонометрическая подстановка.
Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost. Пример:

Способ. Метод неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим интегралы следующих трех типов: где P(x) – многочлен, n – натуральное число. Причем интегралы II и III типов могут быть

Понятие определенного интеграла и его свойства
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x). y M m

Тейлор (1685-1731) – английский математик
Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до

Основные определения и понятия.
Пусть мы имеем числовую последовательность где Приведем пример числовой последовательности: . Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида

Суммой сходящегося числового ряда.
В качестве примера расходящегося ряда можно привести сумму геометрической прогрессии со знаменателем большем, чем единица1+2+4+….+ определяется выражением , Еще одним примером расходящегос

Сходимость числовых положительных рядов
Одной из ключевых задач теории числовых рядов является исследование ряда на сходимость. На практике в подавляющем большинстве примеров сумму ряда находить не требуется

Достаточные признаки сходимости знакоположительного ряда.
При использовании достаточных признаков для исследования числовых рядов на сходимость постоянно необходимо использовать вычисление пределов. Во первых отметим, что для сходимости знакополо

Первый признак сравнения рядов.
Пусть и - два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенство для всех n = 1, 2, 3, ... Тогда из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расхо

Следствие.
Если и , то из сходимости одного ряда следует сходимость другого, а из расходимости следует расходимость. Исследуем ряд на сходимость с помощью второго признака сравнения. В качестве ряда

Третий признак сравнения.
Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера N выполняется условие , то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .

Радикальный признак Коши.
Пусть - знакоположительный числовой ряд. Если , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится. Замечание. Радикальный признак Коши справедлив, если предел бесконечен,

Интегральный признак Коши.
Пусть - знакоположительный числовой ряд. Составим функцию непрерывного аргумента y = f(x), аналогичную функции . Пусть функция y = f(x) положительная, непрерывная и убывающая на

Понятие функционального. Степенной ряда
Функциональный же ряд состоит из функций: = В общий член ряда j, обязательно входит переменная, которая может обозначаться привычной для математики « х-икс» или «z

Сходимость степенного ряда.
Одной из особенностей степенных рядов является то, что их сходимость зависит от значения х. Так, например, для ряда при значениях х=1 или х ряды являются расходящимся. В тоже время при х ряд предст

Исследование степенного ряда на cходимость
Задание часто формулируют примерно так : Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала. Алгоритм решения довольно прост.

Вычисление области и радиуса сходимости степенного ряда.
Для нахождения радиуса сходимости. как уже отмечалось, обычно используют признаки Коши или Даламбера). Пример 2. Решение. Будем исследовать ряд на абсолютную сходимо

Разложение функции в степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена.
Теорема. Если функция f(x) n раз дифференцируема в некоторой точке , то её можно разложить в окрестности этой точки в степенной ряд (многочлен n- ой степени) вида:

Доказательство.
Пусть имеется функция f(x) . Необходимо представить функцию f(x) многочленом вида (1), которые удовлетворяют условию теоремы, т.е. имеют производные n- го порядка и их значения совпадают в т