БИЛЕТ 1. Точные грани числовых множеств. Теорема существования

БИЛЕТ 1. Точные грани числовых множеств. Теорема существования.

 

Точной верхней гранью числового множества () называется число, такое что:

1) S- верхняя граница ().

2) Для любого положительного числа в множестве M можно найти число , такое что

>-. (>-)

 

Точной нижней гранью числового множества () называется число, такое что:

1) S- нижняя граница ().

2) Для любого положительного числа в множестве M можно найти число , такое что

+. (+)

Теорема существования: Пусть , , ограниченное сверху (снизу), тогда существует точная верхняя (нижняя) грань.

Замечание: (аксиома непрерывности множества действительных чисел).

Пусть , , и , , причем и : . Тогда

: и .

, , ограничено сверху.

, .

,и ,.

и

 

1)

2) >-

 

Предположим противное:

:.

-,

. Получили противоречие.

Аналогично для =.

 

БИЛЕТ 2. Точные грани числовых множеств. Теорема единственности.

 

Точной верхней гранью числового множества () называется число, такое что:

1) S- верхняя граница ().

2) Для любого положительного числа в множестве M можно найти число , такое что

>-. (>-)

 

Точной нижней гранью числового множества () называется число, такое что:

1) S- нижняя граница ().

2) Для любого положительного числа в множестве M можно найти число , такое что

+. (+)

 

Теорема единственности: Если числовое множество не пусто и ограничено сверху (снизу), то у него есть единственная ().

 

Введем следующие условия:

1) числовое множество ограничено сверху, если можно указать такое число , что для всех чисел из множества .

2) числовое множество ограничено снизу, если можно указать такое число , что для всех чисел из множества .

 

Доказательство:

Рассмотрим множество , состоящее из всех чисел , таких что для любого числа из множествабудет . Такие числа существуют, так как множество ограничено сверху. В силу непрерывности множества действительных чисел существует такое число , что для любых чисел (из) и (из).

Покажем, что =. По определению , для всех чисел из множествабудет , так что первое условие выполнено. Проверим, что выполнено и второе условие. Предположим, что оно не выполнено, т.е. есть такое положительное число (>0), что для всех чисел из множествабудет . Так как , то число не принадлежит множеству . Но это противоречит определению множества , которое было множеством всех чисел , таких что для любого числа из множествабудет , а мы нашли число , тоже обладающее таким же свойством и не принадлежащее множеству . Полученное противоречие показывает, что для числа выполнено и второе условие из определения верхней грани.

 

 

БИЛЕТ 3. Лемма о вложенных отрезках.

Пусть =, =1,2,…, причем …, то есть ,

. Тогда , то есть .

 

Доказательство.

а) - верхняя граница , то есть . б) - наименьшая из всех границ, то есть. .

Теорема (о промежуточной последовательности).

Замечание: ().

Теорема: (об отделимости от нуля).

Замечание:- ограниченная. ().

Арифметика бес­конечно малых последовательностей.

Пусть . Возьмем произвольный. Аналогично

Ограниченность.

. +

Монотонность.

+.    

Определение: Если , то -частичный

Теорема (о частичных пределах сходящейся подпоследовательности): Пусть , тогда .

Доказательство: (метод деления пополам).

ограниченная . Рассмотрим точку - середину отрезка .

Т.обр.

., то есть

 

 

БИЛЕТ 15. Свойства пределов функций, связанные с неравенствами.

Теорема:Пусть и ,

тогда .

Теорема: (Локальн. Огр.): Пусть , тогда

, :

.

.

Возьмем Тогда .

Теорема: Пусть , и

. Тогда

Возьмем произвольный ,

, , причем

.

(по теореме о предельном переходе в

неравенство) .

Теорема: Пусть , и

. Тогда существует .

Возьмем произв. ,

, , причем

сущ. .

Теорема (об отделимости от нуля):Пусть

, : .

Доказательство:

.

Возьмем , тогда

, ,

.

 

 

БИЛЕТ 16. Теорема об арифметике пределов функций.

Теорема: Если существуют и , то:

1). .

2). =(- постоянная).

3).*.

4).,

если .

Доказательства:

Доопределив по непрерывности функции и

в точке , положив =и =

(это изменение функций не влияет на их пределы).

В точке будут непрерывны функции ,

, , (так как

=. Поэтому в силу равенства

=получим:

1).=.

2).==

3).=*.

4).=.

 

БИЛЕТ 17. Разные виды пределов функций.

Связь предела функции в точке и одно­сторонних пределов.

Определение:бесконечно большая при

(), если

.

, если

.

(если же , то ).

Определение:пределы на бесконечности:

, если

.

Если (то (

Если то

Определение: односторонние пределы.

. , если .

Теорема (о связи предела функции в точке

И одно­стороннего предела).

1) существует 2) существует и .