Определение 2: Группы, составленные из объектов, которые принадлежат одному из типов элементов, называют сочетаниями с повторениями.
Определение 2: Группы, составленные из объектов, которые принадлежат одному из типов элементов, называют сочетаниями с повторениями. - раздел Математика, КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ Число Всевозможных Сочетаний С Повторениями Обозначают Следующим Символом: ...
Число всевозможных сочетаний с повторениями обозначают следующим символом: .
Сочетания с повторениями, как было показано в примере, могут быть сведены к перестановкам с повторениями, поэтому имеем формулу:
.
Доказательство. Пронумеруем элементы исходного множества числами от 1 до . Пусть в одно из сочетаний с повторениями вошло элементов под номером 1, элементов под номером 2, …, элементов под номером . Поскольку составляются группы из объектов, то .
Изобразим это сочетание с повторениями в виде последовательности из нулей и единиц. Единица будет обозначать каждый отдельный объект сочетания, нуль – разделитель между группами.
Поскольку сумма всех равна , то в построенной последовательности содержится единиц, а так как имеется различных по составу групп, то разделителей (нулей) будет . Верно обратное: каждой такой последовательности соответствует сочетание с определенными повторениями.
Таким образом, задача свелась к поиску ответа на вопрос: сколько различных последовательностей длины можно составить из единиц и нулей? Это есть число перестановок с повторениями из единиц и нулей:
.
А так как , то формула доказана.
Пример 4. При принятии решения члены комитета голосуют: «за», «против», «воздержался». Сколько может быть возможных исходов голосования по данному решению?
Решение. Если нас интересует, кто и как голосовал, то тогда речь идет о размещениях с повторениями, что даст возможных исходов голосования. Если же не важно, кто и как голосовал, а только общий результат, то тогда речь идет о сочетаниях с повторениями. В этом случае имеем: возможных исходов голосования.
Замечание. Сочетания с повторениями и размещения с повторениями объединяет то, что нет никаких ограничений на число повторений элементов, кроме их общего числа в наборе. Поэтому в формулах и допустим случай, когда . Отличие сочетаний от размещений прежде всего в том, что сочетания – это неупорядоченный набор, а размещения – упорядоченный.
Представление бинарных отношений графами.
Понятие графа используется в математике для наглядного представления бинарных отношений, заданных на конечных множествах.
Граф представляет собой конечный набор точек плоскости (
И порядка. Фактор-множество.
В данном параграфе будут рассмотрены некоторые виды бинарных отношений. Рассмотрим непустое множество и зададим на нём бинар
Булевы алгебры.
Определение 1: Пусть - отношение порядка на множестве
Трансфинитная индукция.
Понятие мощности множества является обобщением понятия количества элементов конечного множества. А число элементов во множестве – это натуральное число. Но над натуральными числами
Задачи для самостоятельной работы.
1) Доказать, что два множества равны тогда и только тогда, когда их пересечение и объединение совпадают.
2) Обозначим через множес
Формулы алгебры логики. Тавтологии.
В алгебре выводятся формулы, которые остаются верными, какие бы числа не подставляли вместо букв, входящих в эти формулы. Подобным образом в алгебре высказываний конструируются форм
Доказательство.
Необходимость: Пусть формулы и равносильны. Тогда, по определению, для люб
Формальный язык логики высказываний.
Таблицы истинности в логике высказываний позволяют ответить на многие вопросы. Например, является ли данная формула тавтологией, противоречием или выполнимой формулой; влечёт ли она
Теорема Поста.
В предыдущем параграфе были рассмотрены некоторые классы булевых функций. В каждый класс попадают функции, обладающие определённым свойством. Для удобства введём следующие обозначен
Правила комбинаторики.
Начнем с основных принципов комбинаторики, т.е. с правил.
Существует два общих правила комбинаторики: правило сложения и правило умножения.
Правило слож
Свойства сочетаний.
Одной из наиболее распространённых комбинаторных формул является формула числа сочетаний. Для упрощения подсчётов и для доказательства некоторых утверждений удобно использовать след
Комбинаторика с повторениями.
Одна из особенностей комбинаторных задач заключается в том, что в ней исключительно большую роль играет точность формулировки. Обычно в задаче по комбинаторике необходимо определить
Упражнения для самостоятельной работы.
1. Сколько всегочетырёхзначных натуральныхчисел? Сколько всего четырёхзначных натуральныхчисел, в записи которых нет одинаковых цифр?
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов