Получение простых чисел. - Лекция, раздел Математика, Материалы лекций Математические основы криптологии
По Мере Того Как Мы Будем Изучать Курс «Математические Основы...
По мере того как мы будем изучать курс «Математические основы криптологии» мы будем возвращаться к этой теме.
Задача получение простых чисел во многом зависит от того как ставить эту задачу.
Методы:
1) Самый древний способ получения простых чисел, как мы уже знаем, -
решето Эратосфена.
2) Формульный метод. С помощью формул можно получить некоторое множество чисел, но оно ограниченно. Простейшие:
а) целочисленные полиномы(в общем случае не решают задачу получение бесконечного множества простых чисел.)
б) экспоненциальная функция. (множество получаемое на основе данного способа, как мы уже говорили, ограничено по мощности.
этот способ имеет больший интерес для анализа криптошифра.
в) праймориальная формула. Пока не известно можно ли по этой формуле получить бесконечное число простых чисел.
3. ТЕСТИРОВАНИЕ
Задано некоторое число m и проверяется по определенному алгоритму, является ли оно простым. Так называемое тестирование на простоту. Этот способ используется в современных криптографических системах с открытым ключём. Берется некоторое большое число (сотни десятичных знаков) и по отношению к этому числу начинается тестирование.
Существует 2 метода тестирования на простоту:
1)строгие тесты(детерминированные).
отвечают на вопрос простое или составное однозначно.
2)вероятностные тесты.С помощью них мы можем говорить только с некоторой вероятностью, что данное число простое. При этом вероятность может быть сколь угодна близка к единице. Но эти
методы гораздо быстрее, нежели строгие, по отношению к большим числам. Т.е. когда информация не столь важна(для шифрование) мы можем рискнуть, и с некоторой вероятностью, использовать вместо простого числа составное.
Метод, объединяющий в себе как вероятностные, так и детерминированные методы называется комбинированным методом. Т.е. сначала мы выясняем, с некоторой вероятностью, что число m простое и потом по отношению к нему применяем строгий метод и в итоге это более оптимально чем сразу применять к некоторому большому числу строгий тест.
С понятием «строгие тесты» связанно такое понятие как «факторизация». Факторизация – разложение заданного числа на простые сомножители.
В 19 веке предложен тест проверки чисел Мерсена на простоту. Это был один из первых строгих тестов.
Так как же определить является ли число Мерсена простым или составным? Существует метод, причем достаточно эффективный для больших чисел.
В М Захаров... Материалы лекций... Математические основы криптологии...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Получение простых чисел.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Алгоритм передачи секретного ключа по открытому каналу
В середине 70-х годов произошел настоящий прорыв в современной
криптографии – появление асимметричных криптосистем, которые не требовали передачи секретного ключа между сторонами. Здесь от
Алгоритм Евклида
Алгоритм Евклида дает правило вычисления наибольшего общего делителя
(НОД) 2-х натуральных чисел. (a,b)= d , где d – НОД НОК – наименьшее общее кратное
Алгоритм Бухштаба
Данный алгоритм приведен из книги Бухштаба А.А. "Теория чисел" [4]. Пусть задано натуральное нечетное число n, n ≥ 9, которое необходимо разложить на 2
Алгоритм Ферма
Алгоритм Ферма похож на алгоритм Бухштаба и является эффективным, если у раскладываемого числа n есть делитель (который
Функция Эйлера
Имеется целое, положительное число m. Оно может быть как составным, так и простым.
Функцию Эйлера принято обозначать, практически во всех учебниках как:
Мультипликативная функция
Имеем два натуральных числа a и b, если они взаимно просты, то мультипликативная функция устанавливает число взаимно простых чисел, для произведение двух взаимно простых чисел по фо
Числовая функция
Это функция устанавливающая целую часть от некоторого рационального числа
[a] – обозначение
может быть как положительное, так и отрицательное число
Сравнимость по модулю. Модулярная арифметика
Понятие «модулярная арифметика» ввел немецкий ученый Гаусс.
Модульная арифметика аналогична обычной арифметике: она коммутативна, ассоциатив
Свойства операций сравнения
В криптографии существуют шифры и по простому модулю и по составному модулю.
Нужно знать когда применять простой модуль, а когда состав
Кольца и поля
Алгебраические структуры с двумя бинарными операциями - сложение и умножение.
Определение 1.7. Множество S называется кольцом, е
Характеристика поля
Определение 1.12. Если в поле Fq все ненулевые элементы имеют аддитивный порядок k, то говорят, что поле Fq имеет характеристику k. Обозначение. р - простое число.
Вычисление обратных элементов
В арифметике действительных чисел просто вычислить обратную величину a−1 для ненулевого a:
a-1 = 1/a или a? a-1 = 1.
Расширение полей
Рассмотрим, какова связь полей GF(p) и GF( p n ).
Пусть F - поле. Подмножество К поля Р, которое само является полем относительно операций поля Р, на
Pound; b£ n-1
Если для каждого простого делителя p числа n-1 справедливы следующие утверждения:
(1) bn-1≡ 1(mod n),
Числа Кармайкла
Может ли составное нечетное число n быть псевдопростым по всем взаимно-простым с ним основаниям b? Забегая вперед, скачем, что «да».
Заметим
Процедура получения устойчивых простых чисел
1. Генерируются простые числа s,t
2. Получаем простое число r такое что, (r-1) делит t без остатка: r-1|t
На основе этих двух операций получаем про
Алгоритм асимметричного шифрования RSA
Алгоритм RSA предложили в 1978 г. 3 автора: Райвест (Rivest), Шамир (Shamir) и Адлеман (Adleman). RSA является алгоритмом с открытым ключом, работающим в режимах шифрования данных и
Раунд преобразования алгоритма RIJNDAEL
RIJNDAEL выполняет серию однотипных раундов преобразования шифруемого блока. Шифруемый блок и его промежуточные состояния в ходе преобразования представляются в виде квадратной матр
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов