Конспект лекций по дисциплине: Элементы высшей математики

Министерство образования и науки РФ

Негосударственная образовательная организация

высшего профессионального образования

некоммерческое партнерство

«Тульский институт экономики и информатики»

Кафедра «Естественнонаучных и гуманитарных дисциплин»

Конспект лекций по дисциплине:

«Элементы высшей математики»

для специальностей: «Банковское дело».

Тула 2012

Рассмотрено на заседании кафедры

протокол №___ от "_______ "____ 2012 г.

Зав. кафедрой________ Е.А. Вишнякова

ЛЕКЦИЯ 1

Тема 1: Матрицы и определители

ПЛАН

1. Виды матриц. Равенство матриц. Действия над матрицами.

2. Определители квадратных матриц.

3. Свойства определителей.

4. Теорема Лапласа.

Виды матриц. Равенство матриц. Действия над матрицами

Определение 2.Две матрицы одного размера m´n называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. А=В Û aij=bij для любых… Определение 3.Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой… Определение 4.Матрица называется квадратной матрицей n-го порядка, если число ее строк равно числу ее столбцов и равно…

Определители квадратных матриц

Определение 2.Определителем матрицы 3-го порядка A (определителем 3-го порядка) называется число, которое вычисляется по формуле . Заметим, что определитель 3-го порядка матрицы А есть алгебраическая сумма 3!=6 слагаемых, каждое из которых есть…

Свойства определителей

1.Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0, 2.Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число l ,… 3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется, т.е. ½А'½=½A½.

Теорема Лапласа о разложении определителя

По элементам строки или столбца

Определение 2.Алгебраическим дополнением Аij элемента aij матрицы n-го порядка A называется его минор Mij , взятый со знаком (-1)i+j , т.е.… Теорема Лапласа.Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений… ½A½=ai1×Ai1+ai2×Ai2+...+ain×Ain (разложение по элементам i-ой строки);

ЛЕКЦИЯ 2

Тема 1: Матрицы и определители

ПЛАН

1. Обратная матрица и алгоритм ее вычисления.

2. Ранг матрицы и его вычисление с помощью элементарных преобразований.

3. Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы.

Матрица, обратная данной, алгоритм ее вычисления

Определение 1.Квадратная матрица А называется особенной (вырожденной), если ее определитель равен нулю, т.е. ½A½=0.

Определение 2.Квадратная матрица А называется неособенной (невырожденной), если ее определитель отличен от нуля, т.е. ½A½¹0.

Определение 3.Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице n-го порядка А , если А×А^-1=×А^-1×А=Е, где Е- единичная матрица n-го порядка.

Теорема(необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).Обратная матрица А^-1 существует (и единственна), тогда и только тогда, когда матрица А неособенная.

Алгоритм вычисления обратной матрицы

Если ½A½=0, то А - особенная матрица, А-1 не существует. Если ½A½¹0, то А - неособенная матрица, А-1 существует. 2. Находим матрицу А', транспонированную к А.

Ранг матрицы и его вычисление с помощью элементарных преобразований

Например, из матрицы А размером 3´4 можно получить миноры 1-го, 2-го и 3-го порядков. Определение 2.Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля… Ясно, что: 1) r(A) £ min (m, n);

Линейная независимость столбцов (строк) матрицы.

Теорема о ранге матрицы

Пусть дана матрица . Для ее строк введем обозначения: e1=(a11, a12, ... , a1n), e2=(a21, a22, ... , a2n), ..., em=(am1, am2, ... , amn) . Две строки матрицы называются равными, если равны их соответствующие… Операции умножения строки на число и сложения строк вводятся как операции проводимые поэлементно.

ЛЕКЦИЯ 3

Тема 2: Системы линейных уравнений

Тема 3: Векторы

ПЛАН

1. Виды систем линейных уравнений.

2. Решение системы n линейных уравнений с n переменными:а)по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса.

3. Теорема Кронекера-Капелли. Условие определенности и неопределенности совместной системы линейных уравнений.

4. Векторы. Операции над векторами. Понятие о векторном пространстве и его базисе.

5. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.

Виды систем линейных уравнений

, где aij (i=1,2,...,n; j=1,2,...,n) - коэффициенты при переменных; bi (i=1,2,...,n) - свободные члены.

А) по формулам Крамера

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя переменными:

Умножим первое уравнение на a₂₂, второе уравнение на (-a₁₂) и сложим их. Получим уравнение (a₁₁a₂₂-a₂₁a₁₂)×x₁=b₁a₂₂-b₂a₁₂ .

Умножим первое уравнение на (-a₂₁), второе уравнение на a₁₁ и сложим их. Получим уравнение (a₁₁a₂₂-a₂₁a₁₂)×x₂=a₁₁b₂-a₂₁b₁.

Заметим, что ,

т.е. система имеет вид .

Если D¹0, то система имеет единственное решение , .

Если D=0, а D₁¹0 или D₂¹0 то система несовместная.

Если D=0, D₁=0 и D₂=0 , то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

Теорема Крамера.Пусть D - определитель матрицы А системы n линейных уравнений с n переменными, D_j - определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов (j=1,2,...,n). Тогда, если D¹0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам

, , . . . , (формулы Крамера).

б) с помощью обратной матрицы (вывод формулы X=A^-1B)

В матричной форме система n линейных уравнений с n переменными записывается в виде А×Х=В, где , , .

Если ½А½¹0, то существует обратная матрица А^-1. Умножая слева обе части матричного равенства А×Х=В на матрицу А^-1, получим А^-1(А×Х)=А^-1В . Но А^-1×(А×Х)= (А^-1×А)×Х=Е×Х=Х.

Следовательно, решением системы n линейных уравнений с n переменными методом обратной матрицы является матрица-столбец А^-1В .

В) методом Гаусса

Метод Гаусса - метод последовательного исключения переменных - заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последней переменной, находятся все остальные переменные.

Пусть дана система n линейных уравнений с n переменными:

(1) .

Шаг 1.Предположим, что a₁₁¹0. Умножаем первое уравнение на , прибавляем его ко второму уравнению. Аналогично исключаем переменную x₁ из остальных уравнений:

(2) .

Шаг 2.Предположим, что a₂₂¹0. Исключаем переменную x₂ из всех уравнений, начиная с третьего.

После (n-1)-го шага получаем систему треугольного вида

(n) .

Переход от системы (1) к равносильной системе (n) называется прямым ходом метода Гаусса.

Если , то .

Далее, если , то .

Продолжая, находим все остальные переменные. Нахождение переменных из системы (n) называется обратным ходом метода Гаусса.

Замечание.Преобразования Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов

называемой расширенной матрицей системы (1)

Теорема Кронекера-Капелли. Условие определенности и неопределенности совместной системы линейных уравнений

Пусть дана система m линейных уравнений с n переменными:

Теорема Кронекера-Капелли.Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, то система имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, то система имеет бесконечное множество решений.

Замечание.На практике обычно производят (методом Гаусса) преобразования расширенной матрицы системы, что позволяет одновременно решить вопрос о совместности и определенности системы линейных уравнений.

Векторы. Операции над векторами.

Понятие о векторном пространстве и его базисе

Определение 2.Длиной вектора AB называется число çABç, равное длине отрезка AB, изображающего вектор. Определение 3.Произведением вектора a на число l называется вектор b=l a,… Определение 4.Суммой двух векторов a и b называется вектор c=a+b, начало которого совпадает с началом вектора a, а…

Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.

Можно доказать, что ненулевое решение уравнения A×x = l×x существует тогда и только тогда, когда определитель çA -… Определение 2.Характеристическим многочленом матрицы A называется определитель… Определение 3.Характеристическим уравнением матрицы A называется уравнение çA - l×Eç=0. Корни…

ЛЕКЦИЯ 4

Тема 4: Функции

ПЛАН

1. Основные виды уравнения прямой на плоскости.

2. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование.

3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Основные виды уравнения прямой на плоскости

Если из этого уравнения выразить переменную y, то получится уравнение y=f(x). Если линии заданы уравнениями, то точкой пересечения двух линий называется… Основные виды уравнений прямой на плоскости:

Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование

Определение 1.Уравнение с двумя переменными Ax+By+C=0, где А и В не равны 0 одновременно, называется общим уравнением прямой на плоскости.

Теорема 1.Любая прямая на плоскости может быть задана общим уравнением.

Если В¹0, то , т.е. y=кх+b . При этом:

а) если А=0, то y=b;

б) если А=0 и С=0, то y=0;

в) если С=0, то y=кх .

Если В=0 и А¹0, то , т.е. х=а - если С¹0 и х=0 - если С=0.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Угол между прямыми

Рассмотрим угол j=a2-a1 - угол между данными прямыми. Тогда, по формуле тангенса разности, , т.е. . Если прямые параллельны, то j=0 , tgj=0. Итак, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов, т.е. k1= k2 .

ЛЕКЦИЯ 5

ПЛАН 1. Предел последовательности при n®¥. 2. Предел функции при x®¥.

Предел функции в точке

Обозначения: или f(x)®A при x®x0 . Более строго: Определение 1'.Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x=x0, если… Заметим, что не всякая функция имеет предел в заданной точке.

Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Среди всех функций, имеющих предел в точке x=x0, наибольшее значение имеют функции, предел которых в этой точке равен 0. Функция y=a(x) называется… Теорема 1.Сумма двух б.м.п. (б.м.ф.) есть б.м.п. (б.м.ф.) Теорема 2.Произведение б.м.п. (б.м.ф.) на ограниченную последовательность (функцию) есть б.м.п. (б.м.ф.)

ЛЕКЦИЯ 6

Тема 6: Производная ПЛАН 1. Второй замечательный предел, число е.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Можно доказать, что любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения. Напомним, что функция называется элементарной,… Определение 2.Функция y=f(x) называется непрерывной на промежутке, если она… 3. Производная и её геометрический смысл

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Определение 2.Функция называется непрерывной в точке x0, если: 1) функция f определена в точке x0; 2) существует предел функции f в точке x0;

ЛЕКЦИЯ 7

Тема 6: Производная

ПЛАН

1. Основные правила дифференцирования функций одной переменной.

2. Формулы производных основных элементарных функций.

3. Производная сложной функции.

Основные правила дифференцирования функций одной переменной

Теорема 1.Если функции f и g дифференцируемы в точке x0 , то: 1) их сумма f + g дифференцируема в точке x0 , причем ;

Формулы производных основных элементарных функций

Выведем, например, формулу 5: .

Производная сложной функции

Теорема 1.Если функция f дифференцируема в точке x₀, а функция g дифференцируема в точке f(x₀) , то композиция этих функций дифференцируема в точке x₀, причем .

ЛЕКЦИЯ 8

Тема 7. Приложения производной

ПЛАН

1. Теорема Ролля и Лагранжа и их геометрический смысл.

2. Правило Лопиталя.

3. Достаточные признаки монотонности функции.

4. Необходимый признак экстремума. Достаточные признаки существования экстремума.

Теорема Ролля и Лагранжа и их геометрический смысл

Теорема Ролля.Пусть функция : 1) определена и непрерывна на отрезке ; 2) дифференцируема на интервале ;

Правило Лопиталя

Отметим, что это возможно, если функции f и g удовлетворяют некоторым условиям. Сформулируем соответствующие теоремы для некоторых случаев. Теорема 1.Пусть функции и : 1) являются бесконечно малыми при ;

Достаточные признаки монотонности функции

Определение 1.Функция f называется возрастающей на промежутке X, если для любых и из множества X таких, что , выполнено неравенство . Определение 2.Функция f называется убывающей на промежутке X, если для любых и… Теорема 1.(условие возрастания функции).Пусть функция :

Необходимый признак экстремума.

Достаточные признаки существования экстремума

Определение 2.Точка называется точкой минимума функции f , если существует такая окрестность , что для всех выполняется неравенство . Определение 3.Точки минимума и максимума функции f называются точками… Теорема 1(необходимое условие экстремума). Если точка является точкой экстремума функции f , определенной в некоторой…

ЛЕКЦИЯ 9

Тема 7. Приложения производной.

Тема 8. Дифференциал функции

ПЛАН

1. Асимптоты графика функции.

2. Общая схема исследования функций и построения их графиков.

3. Дифференциал функции и его геометрический смысл.

Асимптоты графика функции

Различают 3 вида асимптот: — вертикальные; — горизонтальные;

Общая схема исследования функций и построения их графиков

Для полного исследования функции и построения эскиза ее графика рекомендуется следующая схема:

1) найти область определенияфункции (при возможности и );

2) исследовать функцию на периодичность, четность и нечетность;

3) найти точки пересечения графика с осями координат и промежутки знакопостоянства функции;

4) найти точки разрыва функции и промежутки непрерывности функции;

5) исследовать поведение функции около точек разрыва и граничных точек области определения; найти вертикальные асимптоты графика функции;

6) исследовать поведение функции на бесконечности; найти горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции;

7) вычислить, исследовать функцию на монотонность и экстремумы;

8) вычислить значения функции в характерных точках (если их мало, то и в дополнительных опорных точках графика);

9) используя полученную информацию, построить эскиз графика функции.

Замечание 1.Для четных и нечетных функций достаточно исследовать свойства функции при .

Замечание 2.Для периодических функций с периодом Т достаточно исследовать свойства функции на промежутке длиной Т.

Замечание 3.Некоторые пункты схемы можно пропускать при исследовании конкретных функций. Например, график непрерывной функции не может иметь вертикальной асимптоты, а график периодической функции (отличной от постоянной) не может иметь горизонтальной или наклонной асимптоты.

Дифференциал функции и его геометрический смысл

Обратим внимание на то, что в фиксированной точке x0 линейно зависит от приращения аргумента и при условии действительно вносит главный вклад в… . Заметим также, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Действительно, рассмотрим…

ЛЕКЦИЯ 10

Тема 9. Функции нескольких переменных

ПЛАН

1. Функции нескольких переменных. Частные производные.

2. Экстремум функции нескольких переменных и его необходимое условие.

3. Понятие об эмпирических формулах и способе наименьших квадратов.

Функции нескольких переменных. Частные производные

, - функция трех переменных; , - функция n переменных. Определение 1.Если функция задана аналитически (т.е. с помощью какой-либо формулы), то областью определения функции…

Экстремум функции нескольких переменных и его необходимое условие

Определение 2.Точка называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность , что для всех выполняется неравенство . Определение 3.Точки минимума и максимума функции f называются точками… Теорема 1.Если точка является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки , то частные…

Понятие об эмпирических формулах и способе наименьших квадратов

На практике часто зависимость между двумя величинами выражается в виде таблицы, полученной опытным путем, в результате наблюдений или статистической обработки:

x	x₁	x₂	…	x_i	…	x_n
y	y₁	y₂	…	y_i	…	y_n

Во многих случаях удобно представить зависимость между этими величинами с помощью формулы.

Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, получили название эмпирических формул.

Нахождение эмпирических формул

2) определение неизвестных параметров функции. Наиболее часто для нахождения неизвестных параметров применяется метод… .

ЛЕКЦИЯ 11

Тема 10. Неопределенный интеграл

ПЛАН

1. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства.

2. Таблица основных интегралов.

3. Основные свойства неопределенного интеграла.

4. Метод интегрирования по частям.

5. Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства

После введения операции дифференцирования естественен вопрос об операции, обратной ей, которая называется операцией интегрирования. Многие задачи естествознания приводят к необходимости отыскания функции по… Определение 1.Пусть определена на промежутке I . Функция F называется первообразной для функции f на I, если для всех…

Доказательство.

2) рассмотрим функцию . Ее производная для любого . Отсюда следует, в силу условия постоянства функции на промежутке, что есть функция, принимающая… Определение 2.Совокупность всех первообразных функций для функции f на… Если F - какая-либо первообразная функции f, то из теоремы 1 следует, что . Это утверждение принято записывать так: …

Таблица основных интегралов

Используя формулы производных основных элементарных функций, получаем:

1. . 2. .

3. , , ;если , то ;

если и , то .

4. , .

5. , . 6. ,

7. , . 8. , .

9. на каждом из интервалов , .

10. на каждом из интервалов , .

11. , 12. , .

В таблицу интегралов часто включают также следующие формулы, которые легко проверить непосредственным дифференцированием:

13. , .

14. , .

15. , .

16. , или .

17. , .

18. , .

3. Основные свойства неопределенного интеграла

1. ; 2. ;

3.; 4. .

Проверим, например, свойство 2). Пусть F - первообразная функции f, G- первообразная функции g на промежутке I. Это значит, что и для . Следовательно, , то есть есть первообразная функции.

Итак, .

Но , где

- такая же произвольная постоянная, как и С.

Метод интегрирования по частям

Доказательство. Формула интегрирования по частям основана на правиле дифференцирования произведения двух функций: . Функции, по условию теоремы,… Пример 1.Выведем формулу 17 таблицы интегралов.

Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Теорема.Пусть функция x=j(t) имеет непрерывную производную, тогда . Доказательство.Пусть F(x) – первообразная для функции f(x), т.е. . Следовательно, по правилу дифференцирования сложной…

ЛЕКЦИЯ 12

Тема 11. Определенный интеграл

ПЛАН

1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы.

2. Свойства определенного интеграла.

3. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Пусть функция f определена на отрезке . 1. Набор точектаких, что называется разбиением отрезка и обозначается символом… Диаметром разбиения Т называется число, где . Заметим, что (k=1,2,…,n) и .

Свойства определенного интеграла

1) если функция f интегрируема на и , то ; 2) если функции f, g интегрируемы на , , то функция интегрируема на и ;

Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция интегрируема на отрезке . Тогда при любом существует интеграл , т.е. определенный интеграл с переменным верхним пределом является… Теорема 1.Если функция f непрерывна на отрезке , то функция f имеет на отрезке… Доказательство.Докажем, что функция является первообразной для f на , т.е. при любом .

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Определение 1.Пусть функция определена на промежутке и для любого интегрируема на отрезке . Тогда формальный символ называется несобственным… Определение 2.Пусть функция определена на промежутке и для любого интегрируема… 1) если существует конечный предел , то несобственный интегралназывается сходящимся, этот предел называется значением…

Пример 1.

Пример 2.

Ответ на вопрос о сходимости несобственного интеграла в ряде случаев важнее, чем ответ на вопрос о значении этого интеграла. Этим объясняется значимость признаков сходимости несобственных интегралов.

Теорема.Пусть функции и определены на промежутке , для любого интегрируемы на , и для любого выполняется условие . Тогда:

1) если - сходится, то - сходится;

2) если - расходится, то - расходится.

Признаки сравнения удобны для применения при наличии набора несобственных интегралов, сходимость (расходимость) которых известна.

Пример 3..

Действительно, если , то

Если , то .

Если , то для любого выполняется условие . Тогда, из расходимости следует расходимость .

Пример 4.Исследовать на сходимость интеграл .

Решение.Для любого выполняется условие . Из сходимости интеграла следует сходимость данного интеграла.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке : .

Несобственный интеграл на промежутке определяется как сумма двух интегралов рассмотренного вида:

(с - любое число).

При этом, интеграл на называется сходящимся, если сходятся оба интеграла на и .

ЛЕКЦИЯ 13

Тема 12. Геометрические приложения определенного интеграла

Тема 13. Дифференциальные уравнения

ПЛАН

1. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

2. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения.

3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

4. Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения.

Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

Введем далее понятие площади такой фигуры и одновременно правило ее вычисления. 1. Разобьем отрезок точками на частичные отрезки. 2. В каждом отрезке (где k=1,2,...,n) выберем произвольную точку .

Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения

Определение 1.Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида , в котором - неизвестная функция. Определение 2.Функция называется решениям дифференциального уравнения на… Решить дифференциальное уравнение - это найти все его решения.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение 1.Уравнение вида называется уравнением с разделяющимися переменными.

Если для некоторого выполняется условие , то функция является решением уравнения.

Если , то получаем равносильное уравнение . Это уравнение, в случае непрерывности функций и при рассматриваемых значениях x и y , равносильно уравнению .

Действительно, обозначим через некоторую первообразную функции , через - некоторую первообразную функции . Тогда , . Следовательно,

Но дифференциалы двух функций (переменной x) равны тогда и только тогда, когда сами функции различаются на постоянное слагаемое:

Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения

, где f – некоторая функция одной переменной. Метод решения однородного дифференциального уравнения: вводим новую переменную . Следовательно, . Получаем уравнение с…

Тема 14. Числовые ряды

ПЛАН

1. Определение числового ряда. Сходимость числового ряда.

2. Признаки сравнения и признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов.

3. Интегральный признак сходимости числовых рядов.

4. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов.

Определение числового ряда. Сходимость числового ряда

Числовой ряд будем также записывать символом или просто . Число аn называется n-м или общим членом ряда. Договоримся, что если некоторые члены ряда имеют отрицательные знаки, то можно… Определение 2.Сумма первых п членов числового ряда называется n-ой частичной суммой ряда и обозначается…

Интегральный признак сходимости числовых рядов

Доказательство.Сходимость интеграла функции f, удовлетворяющей условиям теоремы, равносильна существованию предела последовательности, т.е.… для которого интеграл является (п-1)-ой частичной суммой. Осталось показать, что ряды и сходятся или расходятся…

ЛЕКЦИЯ 15

Тема 15. Степенные ряды

ПЛАН

1. Степенной ряд и его область сходимости.

2. Условия разложения функции в степенной ряд. Ряд Маклорена.

3. Разложение в ряд Маклорена функций y=e^x, y=ln(x+1), y=(1+x)ⁿ.

4. Приближенное вычисление значений функций и определенных интегралов с помощью степенных рядов.

Степенной ряд и его область сходимости

Функциональный ряд будем также записывать символом . Примеры. или . Определение 2.Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Условия разложения функции в степенной ряд. Ряд Маклорена

Нахождение для данной функции f(x) степенного ряда , сумма которого есть функция f(x), называется разложением функции f(x) в степенной ряд. Теорема 1.Если функция f(x) разлагается в степенной ряд, то это разложение… Доказательство.Пусть в некотором интервале функция f(x) является суммой степенного ряда , т.е.

Приближенное вычисление значений функций и определенных интегралов

С помощью степенных рядов

- вычисление сумм числовых рядов; - вычисление значений аналитических функций; - вычисление интегралов (определенных и несобственных);

Методические указания к практическим занятиям

2. Каждый этап решения задачи должен обосновываться теоретическими положениями. 3. Вычисление следует располагать в строгом порядке; чертежи можно выполнять… 4. Результаты решений следует проверять по условию задачи, по размерности или решением другим способам.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО

САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ

По дисциплине

«Математика»

Специальность: 08050062 и название специальности

Формы обучения (очная)

Тула 2011г.

Методические указания по СРС составлены доцентом, к.т.н.Липатовой И.Е. и обсуждены на заседании кафедры «Естестественнонаучных и гуманитарных дисциплин протокол № от " " 20 г.

Зав. кафедрой________ Е.А. Вишнякова

Методические указания по СРС пересмотрены и утверждены на заседании кафедры название кафедры факультета название факультета.

протокол №___ от "_______ "____ 20 г.

Зав. кафедрой________ Е.А. Вишнякова

Методические указания к самостоятельной работе студентов

1) изучение теоретического учебного материала по пособиям, конспекту в соответствии с тематическим планом и планом изучения дисциплины;

2) решение задач на основе изученного теоретического учебного материала;

4) решение домашних заданий.

Лекции и практические занятия составляют большую часть изучения учебного материала.

Студент может обращаться к преподавателю с вопросами для получения консультации.

По текущей учебной работе студенту даётся оценка на занятии и по результатам выполнения домашних заданий.

Завершающим этапом изучения математики является сдача экзамена.

Самостоятельная работа студентов предусматривает цель: закрепление изученного материала на занятии, решение соответствующих задач, предложенных преподавателем.

1. Изучать учебный материал следует изучать по учебно-тематическому плану, при этом к изучению следующей темы следует переходить после правильного понимания предыдущей, произведя на бумаге все вычисления и выполняя необходимые рисунки и чертежи.

2. Понятия и определения следует знать точно, разбирая примеры их помнящие, уметь строить аналогичные примеры самостоятельно.

3. При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, на полях которого следует отмечать вопросы, по которым требуется получить консультации преподавателя.

4. Полезно составлять схемы доказательства теорем и выводов формул, алгоритмы решения задач.

5. Актуальность в записи математического текста очень важно в овладении математическими знаниями.

Методические указания к выполнению контрольных работ.

1. Не следует приступать к самостоятельному выполнению работы, не решив достаточное количество задач по материалу, соответствующему работе.

2. Самостоятельное выполнение работы способствует приобретению необходимых знаний и подготавливает студента к устному зачёту.

3. Рецензированная работа вместе со всеми исправлениями и дополнениями (работой над ошибками) следует предъявить при сдачи зачёта.

Министерство образования и науки РФ

Негосударственная образовательная организация

высшего профессионального образования

некоммерческое партнерство

«Тульский институт экономики и информатики»

Кафедра «Естественнонаучных и гуманитарных дисциплин»