Виды матриц. Равенство матриц. Действия над матрицами
Виды матриц. Равенство матриц. Действия над матрицами - раздел Математика, Конспект лекций по дисциплине: Элементы высшей математики Определение 1.Матрицей Размера M´N Назыв...
Определение 1.Матрицей размера m´n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
,
aij - элемент матрицы A, где:
i -номер строки,
j - Номер столбца.
Определение 2.Две матрицы одного размера m´n называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. А=В Û aij=bij для любых i=1,2,...,m; j=1,2,...,n.
Определение 3.Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой A=(a12, a12, ..., a1n) или A=(a2, a2, ..., an).
Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом:
или .
Определение 4.Матрица называется квадратной матрицей n-го порядка, если число ее строк равно числу ее столбцов и равно n .
Определение 5.Элементы aij матрицы. А, у которых номер строки i равен номеру столбца j, называются диагональными. Они образуют главную диагональ матрицы.
Квадратная матрица называется диагональной, если все недиагональные элементы равны нулю.
Определение 6.Единичной матрицей n-го порядка называется диагональная матрица n-го порядка, у которой все диагональные элементы равны 1.
Определение 7.Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элементы равны 0.
Определение 8.Произведением матрицы. А на число l называется матрица B=lA, элементы которой bij=laij для любых i=1,2,...,m; j=1,2,...,n
Определение 9.Суммой двух матриц. А и. В одного размера называется матрица. С=А+В, элементы которой сij=aij+bij для любых i=1,2,...,m; j=1,2,...,n .
Определение 10.Если число столбцов матрицы. А равно числу строк матрицы. В и равно k, то произведением матриц. А и. В называется матрица С=А×В, каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В, т.е. сij=ai1b1j+ai2b2j+...+aikbkj для любых i=1,2,...,m; j=1,2,...,n
Многие свойства операций над числами справедливы и для операций над матрицами (это проверяется по определению операций):
1) A+B=B+A;
2) (A+B)+C=A+(B+C);
3) l(A+B)=lA+lB;
4) A(BC)=(AB)C;
5) l(AB)=(lA)B=A(lB);
6) (A+B)C=AC+BC;
7) A(B+C)=AB+AC.
Однако для операций над матрицами справедливы не все свойства операций над числами. Например, AB¹BA для матриц и .
Определение 11.Матрица , которая получается из матрицы А заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к матрице А.
Из определения следует, что если матрица А имеет размер m´n, то транспонированная матрица А' имеет размер n´m .
Определители квадратных матриц
Определение 1.Определителем матрицы 2-го порядка (определителем 2-го порядка) называется число, которо
Свойства определителей
Позволяют существенно упростить вычисление определителя, особенно для определителей высоких порядков. При этом основной целью преобразований является получение определителя, в котором как можно бол
По элементам строки или столбца
Определение 1.Минором Mij элемента aij матрицы n-го порядка A называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы
Теорема о ранге матрицы
Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов.
Пусть дана матрица . Для
Виды систем линейных уравнений
Определение 1.Системой n линейных уравнений с n переменными называется система вида:
,
где a
Понятие о векторном пространстве и его базисе
Определение 1.Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой A и конечной точкой B (который можно перемещать параллельно самому себе).
Основные виды уравнения прямой на плоскости
Определение 1.Уравнением линии на плоскости Oxy называется уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки
Угол между прямыми
Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами y=к1х+b1 и y=к2х+b2, т.е. k1=tg
ЛЕКЦИЯ 5
Тема 5: Предел и непрерывность
ПЛАН
1. Предел последовательности при n®¥.
2. Предел функции при x®¥.
3. Предел функции в т
Предел функции в точке
Определение 1.Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x=x0, если значения функции f(x) приближаются (с
Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Среди всех последовательностей, имеющих предел, выделяют последовательности, предел которых равен 0. Последовательность называют бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если её предел
ЛЕКЦИЯ 6
Тема 5: Предел и непрерывность
Тема 6: Производная
ПЛАН
1. Второй замечательный предел, число е.
2. Свойства функций, не
Основные правила дифференцирования функций одной переменной
К правилам дифференцирования обычно относят правила, позволяющие по определенному алгоритму найти производную любой элементарной функции. Для этого достаточно знать таблицу формул производных основ
Теорема Ролля и Лагранжа и их геометрический смысл
Теоремы этого параграфа являются основным средством, с помощью которого локальное понятие производной оказывается эффективным орудием при исследовании поведения функции (как в окрестности отдельной
Правило Лопиталя
При вычислении пределов функций для раскрытия неопределенностей вида и при стремлен
Достаточные признаки монотонности функции
Для некоторых функций исследование на монотонность и экстремумы можно провести по определению или используя свойства неравенств. Однако в большинстве случаев самым эффективным средством становится
Асимптоты графика функции
Определение 1.Асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при д
Нахождение эмпирических формул
1) установление вида зависимости y=f(x) (линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая);
2) определение неизвестных параметров функции.
На
Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Очень многие задачи различных наук (математики, физики, экономики и других наук) приводят к необходимости вычисления для данной функции на некотором отрезке предела сумм специального вида. Задача о
Свойства определенного интеграла
Перечислим некоторые основные свойства определенного интеграла:
1) если функция f интегрируема на и
Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения
Теория дифференциальных уравнений возникла в конце 17 века под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, по существу одновременно с интегральным и дифференциальным исчис
С помощью степенных рядов
Разложение функций в степенные ряды с успехом применяется для решения различных задач, например:
- вычисление сумм числовых рядов;
- вычисление значений аналитических функций;
Методические указания к практическим занятиям
1 Решение задач должно быть итогом усвоения теоретического материала, при этом предварительно следует сделать анализ уже решённых задач, а затем самостоятельно решать задачи.
2. Каждый эта
МАТЕМАТИКА
Специальность: 08050062 и название специальности
Формы обучения (очная)
Тула-20011
Методичес
Новости и инфо для студентов