Степенной ряд и его область сходимости - раздел Математика, Конспект лекций по дисциплине: Элементы высшей математики Определение 1.Функциональным Рядом Называется Формаль...
Определение 1.Функциональным рядом называется формальное выражение, в котором знаком + соединены функции одной и той же переменной.
Функциональный ряд будем также записывать символом .
Примеры. или .
Определение 2.Степенным рядом называется функциональный ряд вида
,
где коэффициенты действительные числа.
Отметим, что любая частичная сумма степенного ряда есть многочлен.
Определение 3.Областью сходимости степенного ряда называется множество тех и только тех точек x0ÎR, для которых соответствующий числовой ряд сходится.
Любой степенной ряд сходится в точке x=0.
Теорема Абеля.Если степенной ряд сходится в некоторой точке , то он сходится, и притом абсолютно, для любого xÎRтакого, что (без доказательства).
Теорема Абеля помогает описать, какой вид может иметь область сходимости степенного ряда. Логически возможны 3 случая:
1) ряд сходится только в точке x=0, например ряд ;
2) ряд сходится в каждой точке xÎR, например ряд ;
3) существует точка , в которой ряд сходится, и существует точка , в которой ряд расходится.
В третьем случае можно доказать: существует такое положительное число R, называемое радиусом сходимости степенного ряда, что:
1) для любого xÎR такого, что , ряд абсолютно сходится;
2) для любого xÎR такого, что , ряд расходится.
Определение 4.Интервалом сходимости степенного ряда называется интервал , где R - радиус сходимости этого ряда.
Замечание.В концах интервала сходимости степенной ряд может как сходиться, так и расходиться.
Задача 1.Найти область сходимости степенного ряда .
Решение.Применим признак Даламбера. Данный ряд будет абсолютно сходиться, если и расходиться, если .
Имеем: . Следовательно, ряд абсолютно сходится, если ½x½<1, т.е. на интервале (-1;1).
Исследуем сходимость данного ряда в концах интервала сходимости.
Если x=1, то получаем числовой ряд , который расходится, как гармонический ряд.
Если x=-1, то получаем знакочередующийся ряд , который сходится по теореме Лейбница, но условно, так как расходится ряд из модулей.
Ответ.Область сходимости ряда - промежуток [-1;1).
Сумма степенного ряда есть функция, определенная на интервале сходимости степенного ряда. Обозначим эту функцию S(x).
Пусть- радиус сходимости ряда . Тогда:
1) сумма степенного ряда непрерывна на интервале ;
2) степенной ряд можно почленно дифференцировать, т.е.
если , то для любого ;
3) степенной ряд можно почленно интегрировать, т.е. для любого отрезка , лежащего в интервале сходимости , имеет место равенство:
Негосударственная образовательная организация... высшего профессионального образования... некоммерческое партнерство...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Степенной ряд и его область сходимости
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Определители квадратных матриц
Определение 1.Определителем матрицы 2-го порядка (определителем 2-го порядка) называется число, которо
Свойства определителей
Позволяют существенно упростить вычисление определителя, особенно для определителей высоких порядков. При этом основной целью преобразований является получение определителя, в котором как можно бол
По элементам строки или столбца
Определение 1.Минором Mij элемента aij матрицы n-го порядка A называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы
Теорема о ранге матрицы
Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов.
Пусть дана матрица . Для
Виды систем линейных уравнений
Определение 1.Системой n линейных уравнений с n переменными называется система вида:
,
где a
Понятие о векторном пространстве и его базисе
Определение 1.Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой A и конечной точкой B (который можно перемещать параллельно самому себе).
Основные виды уравнения прямой на плоскости
Определение 1.Уравнением линии на плоскости Oxy называется уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки
Угол между прямыми
Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами y=к1х+b1 и y=к2х+b2, т.е. k1=tg
ЛЕКЦИЯ 5
Тема 5: Предел и непрерывность
ПЛАН
1. Предел последовательности при n®¥.
2. Предел функции при x®¥.
3. Предел функции в т
Предел функции в точке
Определение 1.Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x=x0, если значения функции f(x) приближаются (с
Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Среди всех последовательностей, имеющих предел, выделяют последовательности, предел которых равен 0. Последовательность называют бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если её предел
ЛЕКЦИЯ 6
Тема 5: Предел и непрерывность
Тема 6: Производная
ПЛАН
1. Второй замечательный предел, число е.
2. Свойства функций, не
Основные правила дифференцирования функций одной переменной
К правилам дифференцирования обычно относят правила, позволяющие по определенному алгоритму найти производную любой элементарной функции. Для этого достаточно знать таблицу формул производных основ
Теорема Ролля и Лагранжа и их геометрический смысл
Теоремы этого параграфа являются основным средством, с помощью которого локальное понятие производной оказывается эффективным орудием при исследовании поведения функции (как в окрестности отдельной
Правило Лопиталя
При вычислении пределов функций для раскрытия неопределенностей вида и при стремлен
Достаточные признаки монотонности функции
Для некоторых функций исследование на монотонность и экстремумы можно провести по определению или используя свойства неравенств. Однако в большинстве случаев самым эффективным средством становится
Асимптоты графика функции
Определение 1.Асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при д
Нахождение эмпирических формул
1) установление вида зависимости y=f(x) (линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая);
2) определение неизвестных параметров функции.
На
Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Очень многие задачи различных наук (математики, физики, экономики и других наук) приводят к необходимости вычисления для данной функции на некотором отрезке предела сумм специального вида. Задача о
Свойства определенного интеграла
Перечислим некоторые основные свойства определенного интеграла:
1) если функция f интегрируема на и
Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения
Теория дифференциальных уравнений возникла в конце 17 века под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, по существу одновременно с интегральным и дифференциальным исчис
С помощью степенных рядов
Разложение функций в степенные ряды с успехом применяется для решения различных задач, например:
- вычисление сумм числовых рядов;
- вычисление значений аналитических функций;
Методические указания к практическим занятиям
1 Решение задач должно быть итогом усвоения теоретического материала, при этом предварительно следует сделать анализ уже решённых задач, а затем самостоятельно решать задачи.
2. Каждый эта
МАТЕМАТИКА
Специальность: 08050062 и название специальности
Формы обучения (очная)
Тула-20011
Методичес
Новости и инфо для студентов