рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Смешанная случайная величина.

Смешанная случайная величина. - раздел Математика, Основные понятия теории вероятностей. Случайное событие. Вероятность. Статистическая вероятность. Геометрическая вероятность. Основные формулы комбинаторики Случайная Величина Называется Смешанной, Если Функция Распределения ...

Случайная величина называется смешанной, если функция распределения F(x) на некоторых участках непрерывна, а в отдельных точках имеет разрывы (скачки).

На тех участках, где F(x) непрерывна, вероятность каждого отдельного значения случайной величины равна нулю. Вероятность тех значений, где функция распределения совершает скачки, отличны от нуля и равны величине скачка.

7. Функция распределения случайной величины и ее свойства.

Функцией распределения вероятностей F(x) случайной величины Х в точке х называется вероятность того, что в результате опыта случайная величина примет значение, меньше, чем х, т.е. F(x)=P{X < х}.
Рассмотрим свойства функции F(x).

1. F(-∞)=lim(x→-∞)F(x)=0. Действительно, по определению, F(-∞)=P{X < -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0.

2. F(∞)=lim(x→∞)F(x)=1, так как по определению, F(∞)=P{X < ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1.

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [Α Β] равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале. P{Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).

4. F(x2)≥ F(x1 ), если x2, > x1, т.е. функция распределения вероятностей является неубывающей функцией.

5. Функция распределения вероятностей непрерывна слева. FΨ(xo-0)=limFΨ(x)=FΨ(xo) при х→ xo

Различия между функциями распределения вероятностей дискретной и непрерывной случайных величин хорошо иллюстрировать графиками. Пусть, например, дискретная случайная величина имеет n возможных значений, вероятности которых равны P{X=xk}=pk, k=1,2,..n. Если x ≤ x1, то F(Х)=0, так как левее х нет возможных значений случайной величины. Если x1< x ≤ x2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х1.

Значит, F(x)=P{X=x1}=p1.При x2< x ≤ x3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x1}+P{X=x2}=p1+p2. Рассуждая аналогично,приходим к выводу, что если хk< x≤ xk+1, то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна еденице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность.

Рассмотрим вероятность попадания случайной величины в интервал [x, x+Δx], Δx>0: P{x≤X< x+Δx}=F(x+ Δx)-F(x). Перейдем к пределу при Δx→0:

lim(Δx→0)P{x≤ X < x+Δx}=lim(Δx→0)F(x+Δx)-F(x). Предел равен вероятности того, что случайная величина примет значение, равное х. Если функция F(x) непрерывна в точке х, то lim(Δx→0)F(x+Δx)=F(x), т.е. P{X=x}=0.

Если F(x) имеет разрыв в точке х, то вероятность P{X=x} будет равна скачку функции в этой точке. Таким образом, вероятность появления любого возможного значения для непрерывной величины равна нулю. Выражение P{X=x}=0 следует понимать как предел вероятности попадания случайной величины в бесконечно малую окрестность точки х при P{Α< X≤ Β},P{Α ≤ X< Β},P{Α< X< Β},P{Α ≤ X≤ Β} равны, если Х - непрерывная случайная величина.

Для дискретных величин эти вероятности неодинаковы в том случае, когда границы интервала Α и(или) Β совпадают с возможными значениями случайной величин. Для дискретной случайной величины необходимо строго учитывать тип неравенства в формуле P{Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).

 

8. Непрерывная случайная величина. Плотность вероятностей и ее свойства.

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Так как для таких случайных величин функция F(x) нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю

P{X=α}=0 для любого α.

В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин существует понятиеплотностираспределения или плотности вероятности.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины X на участок от x до x+Dx равна приращению функции распределения на этом участке:

P{ X <x+Dx}=F(x+Dx) - F(x).

Плотность вероятности на этом участке определяется отношением

(5.6)

Плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке и обозначается f(x). График плотности распределения называется кривой распределения.

Пусть имеется точка x и прилегающий к ней отрезок dx. Вероятность попадания случайной величины X на этот интервал равна f(x)dx. Эта величина называется элементом вероятности.

Вероятность попадания случайной величины X на произвольный участок [a, b[ равна сумме элементарных вероятностей на этом участке:

(5.7)

В геометрической интерпретации P{α≤X<β} равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и опирающейся на участок (α,β) (рис. 5.4).

Это соотношение позволяет выразить функцию распределения F(x) случайной величины X через ее плотность:

(5.8)

В геометрической интерпретации F(x) равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и лежащей левее точки x (рис. 5.5).

Основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна: f(x) ³ 0.

Это свойство следует из определения f(x) – производная неубывающей функции не может быть отрицательной.

2. Условие нормировки: Это свойство следует из формулы (5.8), если положить в ней x=∞.

Геометрически основные свойства плотности f(x) интерпретируются так:

1. вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

2. полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

 

9. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Свойства математического ожидания.

Математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х , принимающей конечное число значений хi с вероятностями рi , называется сумма:

(6а)

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется интеграл от произведения ее значений х на плотность распределения вероятностей f(x):

(6б)

Несобственный интеграл (6б) предполагается абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что математическое ожидание М ( Х) не существует). Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины Х. Его размерность совпадает с размерностью случайной величины.

Свойства математического ожидания:

 

10. Числовые характеристики случайных величин. Дисперсия. Свойства дисперсии.

Дисперсия. Дисперсией случайной величины Х называется число:

(8)

Дисперсия является характеристикой рассеяния значений случайной величины Х относительно ее среднего значения М ( Х ). Размерность дисперсии равна размерности случайной величины в квадрате. Исходя из определений дисперсии (8) и математического ожидания (5) для дискретной случайной величины и (6) для непрерывной случайной величины получим аналогичные выражения для дисперсии:

(9)

Здесь m = М ( Х ).

Свойства дисперсии:

(10)

11.Среднее квадратическое отклонение. Моменты. Асимметрия. Эксцесс.

Среднее квадратичное отклонение:

(11)

Так как размерность среднего квадратичного отклонения та же, что и у случайной величины, оно чаще, чем дисперсия, используется как мера рассеяния.

Моменты распределения. Понятия математического ожидания и дисперсии являются частными случаями более общего понятия для числовых характеристик случайных величин – моментов распределения. Моменты распределения случайной величины вводятся как математические ожидания некоторых простейших функций от случайной величины. Так, моментом порядка k относительно точки х0называется математическое ожидание М ( Х х0)k . Моменты относительно начала координат х = 0 называются начальными моментамии обозначаются:

(12)

Начальный момент первого порядка есть центр распределения рассматриваемой случайной величины:

(13)

Моменты относительно центра распределения х = m называются центральными моментами и обозначаются:

(14)

Из (7) следует, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю:

(15)

Центральные моменты не зависят от начала отсчета значений случайной величины, так как при сдвиге на постоянное значение С ее центр распределения сдвигается на то же значение С, а отклонение от центра не меняется: Хm = (ХС) – (mС).
Теперь очевидно, что дисперсия – это центральный момент второго порядка:

(16)

Асимметрия. Центральный момент третьего порядка:

(17)

служит для оценки асимметрии распределения. Если распределение симметрично относительно точки х = m, то центральный момент третьего порядка будет равен нулю (как и все центральные моменты нечетных порядков). Поэтому, если центральный момент третьего порядка отличен от нуля, то распределение не может быть симметричным. Величину асимметрии оценивают с помощью безразмерногокоэффициента асимметрии:

(18)

Знак коэффициента асимметрии (18) указывает на правостороннюю или левостороннюю асимметрию (рис. 2).


Рис. 2. Виды асимметрии распределений.

Эксцесс. Центральный момент четвертого порядка:

(19)

служит для оценки так называемого эксцесса, определяющего степень крутости (островершинности) кривой распределения вблизи центра распределения по отношению к кривой нормального распределения. Так как для нормального распределения, то в качестве эксцесса принимается величина:

(20)

На рис. 3 приведены примеры кривых распределения с различными значениями эксцесса. Для нормального распределения Е = 0. Кривые, более островершинные, чем нормальная, имеют положительный эксцесс, более плосковершинные – отрицательный.


Рис. 3. Кривые распределения с различной степенью крутости (эксцессом).

Моменты более высоких порядков в инженерных приложениях математической статистики обычно не применяются.

12. Распределения дискретных случайных величин. Биномиальное, Пуассона, геометрическое, гипергеометрическое распределения.

Распределение Бернулли (или биномиальное распределение) определяется как закон распределения случайной величины, равной числу успехов в n испытаниях Бернулли. Эта случайная величина x может принять любое из значений 0, 1, 2, …, n, а их вероятности определяются формулой Бернулли: если p – вероятность успеха, q – вероятность неудачи, то ,

Распределение Пуассона. Случайная величина, распределенная по закону Пуассона, может принять любое из значений 0, 1, 2, … (счетное множество значений), а их вероятности задаются формулой , l>0.

Геометрическое распределение имеет случайная величина x, равная числу испытаний Бернулли до первого «успеха» (включительно) с вероятностью «успеха» в одном испытании равном р. Такая случайная величина принимает значения x=1, 2, 3,…, а их вероятности задаются формулой:

Гипергеометрическое распределение определяется, например, в задаче о выборке деталей. Пусть имеется N деталей, из которых M – стандартные. Делается выборка из n деталей. Случайная величина x определяется как число стандартных деталей в такой выборке. Оно может равняться любому числу от 0 до n, но, конечно, не больше, чем М, т.е. m=0,1,2,…,min(n,M). Вероятности этих значений определяются гипергеометрической формулой ,

13. Распределения непрерывных случайных величин. Равномерное, показательное, нормальное, Гамма-распределение, распределение Эрланга.

Равномерное распределение. Непрерывная величина Х распределена равномерно на интервале (a, b), если все ее возможные значения находятся на этом интервале и плотность распределения вероятностей постоянна:

(29)

Для случайной величины Х , равномерно распределенной в интервале (a, b) (рис. 4), вероятность попадания в любой интервал (x1, x2), лежащий внутри интервала (a, b), равна:

(30)

Рис. 4. График плотности равномерного распределения

Примерами равномерно распределенных величин являются ошибки округления. Так, если все табличные значения некоторой функции округлены до одного и того же разряда , то выбирая наугад табличное значение, мы считаем, что ошибка округления выбранного числа есть случайная величина, равномерно распределенная в интервале

Показательное распределение. Непрерывная случайная величина Х имеет показательное распределение, если плотность распределения ее вероятностей выражается формулой:

(31)

График плотности распределения вероятностей (31) представлен на рис. 5.


Рис. 5. График плотности показательного распределения

Время Т безотказной работы компьютерной системы есть случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром λ , физический смысл которого – среднее число отказов в единицу времени, не считая простоев системы для ремонта.

Нормальное (гауссово) распределение. Случайная величина Х имеет нормальное (гауссово) распределение, если плотность распределения ее вероятностей определяется зависимостью:

(32)

где m = M(X) , .

При нормальное распределение называется стандартным.

График плотности нормального распределения (32) представлен на рис. 6.


Рис. 6. График плотности нормального распределения

Нормальное распределение является наиболее часто встречающимся в различных случайных явлениях природы. Так, ошибки выполнения команд автоматизированным устройством, ошибки вывода космического корабля в заданную точку пространства, ошибки параметров компьютерных систем и т.д. в большинстве случаев имеют нормальное или близкое к нормальному распределение. Более того, случайные величины, образованные суммированием большого количества случайных слагаемых, распределены практически по нормальному закону.

Гамма-распределение. Случайная величина Х имеет гамма-распределение, если плотность распределения ее вероятностей выражается формулой:

(33)

где – гамма-функция Эйлера.

Основные свойства гамма-функции:

Параметры – любые положительные числа. Гамма-распределение является также распределением Пирсона типа III [3]. При гамма-распределение превращается в показательное распределение с параметром λ, так как Г(1) = 1. Гамма-распределение широко используется в математической статистике. Hа рис. 7 представлены графики плотности гамма-распределения (33) при .


Рис. 7. Графики плотности гамма-распределения

 

14. Системы случайных величин. Функция распределения. Совместная плотность распределения. Условные законы распределения.

Системоойслучайнвх величин (случайным вектором, многомерной случайной величиной)называется любая упорядоченная совокупность случайных величин Х ={X1, …, Xn}.

Случайные величины{X1, …, Xn}, входящие в систему могут быть как непрерывными, так и дискретными. Для наглядности рассмотрения пользуются геометрической интерпретацией; так систему двух случайных величин {X,Y} можно представить случайной точкой на плоскости с координатами X иY, или случайным вектором, направленным из начала координат в точку (X,Y).

Свойства случайных величин не исчерпываются свойствами отдельных величин, входящих в систему и необходимы средства для описания характеристик систем случайных величин.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Основные понятия теории вероятностей. Случайное событие. Вероятность. Статистическая вероятность. Геометрическая вероятность. Основные формулы комбинаторики

Случайные события.. Случайные события бывают х видов.. Невозможные Обозначение V Достоверные Случайные..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Смешанная случайная величина.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Определение вероятности события
Классическое определение вероятности события. При классическом определении вероятность события определяется равенством P(A)=m/n, где

Аксиомы вероятностей.
На основе вышеизложенного сформулированы аксиомы теории вероятностей. Пусть каждому событию ставится в соответствие число, называемое вероятно

Теорема сложения вероятностей
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(

Повторение испытаний
Формула Бернулли  

Формула Бернулли
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0 < p < 1), событие наступит ровно m раз (безразлично,

Локальная и интегральная теорема Муавра-Лапласа
Локальная теорема.Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р <1), событие наступит ровно

Ряд распределения дискретной случайной величины.
Наиболее простую форму можно придать закону распределения дискретной случайной величины. Рядом распределениядискретной случайной величины называется таблица, в которой перечислены в порядке

Плотность распределения системы случайных величин.
Двумерная величина (X,Y) является непрерывной, если ее функция распределения F(х,у) представляет собой непрерывную, дифференци

Условные законы распределения системы случайных величин.
Условные плотности для непрерывных составляющих X и Y определяются так f(x/y) = f(x, y)/fу

Регрессия
Пусть (Х, У) – 2-мерная СВ с известным законом распределения F(X,Y) или f(x,y). Условным математическим ожиданием компоненты Х называется математическое ожидание СВ Х, вычисленное при

Числовые характеристики функции случайного аргумента.
Рассмотрим случайную величину Y, зависящую функционально от случайной величины X с известным законом распределения F(x): Y=φ(X).

Закон больших чисел Бернулли.
Пусть производится последовательность независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие А, причем вероятность наступления этого события одна и т

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги