Метод простой итерации - раздел Математика, Математические модели и численные методы Функцию R(X,y), Определяющую Расстояние Между Точками X И Y...
Функцию r(x,y), определяющую расстояние между точками x и y множества X назовем метрикой, если
1) r(x,y)³0
2) r(x,y)=0 x=y
3) r(x,y)= r(y,x)
4) r(x,y)£ r(x,z)+ r(z,y).
Множество X с введенной метрикой r назовем метрическим пространством.
Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если .
Пространство называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится.
Отображение F пространства E в себя называется сжимающим, если
x – неподвижная точка, если F(x)=x.
Оценка расстояния между неподвижной точкой и приближением x(k) производится следующим образом:
или .
Таким образом, чтобы погрешность вычислений была меньше наперед заданного числа ε, достаточно потребовать .
Рассмотрим 3 типа метрики.
Пусть x(x1,x2,…,xn) и y(y1,y2,…,yn) – две точки n-мерного пространства.
I. Максимальная из сумм модулей коэффициентов при неизвестных в правой части системы, взятых по строкам, должна быть меньше единицы:
II. Максимальная из сумм модулей коэффициентов при неизвестных в правой части системы, взятых по столбцам, должна быть меньше единицы:
III. Корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при неизвестных в правой части системы, должен быть меньше единицы:
СЛУ преобразуется таким образом, чтобы по одной из метрик выполнялось α < 1.
При этом СЛУ задает отображение, которое при α < 1 будет сжимающим. Значит, взяв любую точку в качестве начального приближения, получим последовательность точек, которая будет сходиться к неподвижной точке; это точка и будет решением системы.
Чтобы привести СЛУ к итерационному виду нужно:
1) с помощью равносильных преобразований привести систему к виду с преобладающими диагональными коэффициентами (по абсолютной величине);
2) разделить все уравнения на соответствующие диагональные коэффициенты и выразить из каждого уравнения неизвестное с коэффициентом, равным единице.
Если для этой системы α < 1, то система задает сжимающее отображение.
Рассмотрим на примере:
Решим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
Преобразуем систему к итерационному виду, для чего поменяем местами 1-ую строку со 2-ой, после чего каждую строку разделим на соответствующие диагональные элементы.
Проверим, будет ли отображение сжимающим:
Запишем формулы для решения системы методом итераций:
Программа решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом простой итерации (с использованием евклидовой метрики):
Постановка задачи... Рассмотрим уравнение вида F x где F x определенная и непрерывная на отрезке a b функция...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Метод простой итерации
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Математические модели и численные методы
Процесс решения задачи с использованием ЭВМ включает, как правило, следующие этапы:
1. Математическая постановка задачи и построение математической модели.
I. Графический способ отделения корней
а) Теорема.
Если на отрезке [a,b] функция y=F(x) определена и непрерывна, и на его концах принимает значения разных з
II. Отделения корней программным способом.
Пусть имеется уравнение F(x)=0, причем все корни находятся на отрезке [a,b]. Будем вычислять все значения функции y=F(x), начиная с точки x=a, двигаясь вправо шагом h
Метод половинного деления
Пусть 1) функция y=F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b].
2) F(a)F(b)<0
Требуется найти корень на отрезке с точностью ε.
Разделим отр
Метод хорд
Пусть 1) функция y=F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b].
2) F(a)F(b)<0
Требуется найти корень на отрезке с точностью ε.
В кач
Метод касательных
Пусть функция y=F(x) определена, непрерывна, монотонна и дифференцируема в некоторой окрестности корня.
Требуется найти корень на отрезке с точностью ε.
На k
Метод простой итерации
Заменим уравнение F(x)=0 равносильным уравнением x = f(x).
Теорема.
Пусть уравнение x=f(x) имеет единственный корень на отрезке [a,b] и выполнены услов
Оценка погрешности метода итераций
Пусть xn – приближение к истинному значению x* корня уравнения x=f(x).
Абсолютная ошибка Dxn=|x*-xn|.
Преобразование к итерационному виду
1) Универсальный способ приведения уравнения F(x)=0 к виду x=f(x).
Уравнение F(x)=0 приводится к равносильному уравнению x = x – m F(x), таким образом, f(x)
Постановка задачи
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:
Ее можно записать в матричном виде A x = B
Метод Гаусса
Метод Гаусса относится к точным методам, однако вычислительная ошибка присутствует всегда (ошибка округления и, возможно, ошибка исходных данных).
Рассмотрим систему m линейных урав
Решение СЛУ методом Зейделя
При решении СЛУ методом простой итерации каждый шаг итерационного процесса состоит в переходе от уже имеющегося приближения значений неизвестных к новому приближению.
Основная идея метода
Постановка задачи
Пусть известны значения функции f в некоторых точках:
x
x0
x0
x0
Интерполяционный многочлен Лагранжа
Пусть функция задана таблицей (1). Построим интерполяционный многочлен Ln(x), чья степень не превосходит n, и для которого выполнены условия (2).
Вторая интерполяционная формула Ньютона
Вторая интерполяционная формула Ньютона применяется, когда значение аргумента ближе к концу отрезка интерполяции (формула для интерполирования назад). Интерполяционный многочлен ище
Вычисление производной по определению
Вычисление производной по определению применяется, когда известно аналитическое выражение функции y=f(x).
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестно
Метод Эйлера
В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, этот метод называется также методом ломаных Эйлера.
Угловой коэффициент касательной к интегра
Методы Рунге-Кутта
Численные методы решения задачи Коши , y(x0)=y0 на равномерной сетке {x0=a, x1, x
Постановка задачи
Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы:
xi
x1
x2
Новости и инфо для студентов