рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Метод простой итерации

Метод простой итерации - раздел Математика, Математические модели и численные методы Функцию R(X,y), Определяющую Расстояние Между Точками X И Y...

Функцию r(x,y), определяющую расстояние между точками x и y множества X назовем метрикой, если

1) r(x,y)³0

2) r(x,y)=0 • x=y

3) r(x,y)= r(y,x)

4) r(x,y)£ r(x,z)+ r(z,y).

Множество X с введенной метрикой r назовем метрическим пространством.

Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если .

Пространство называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится.

Отображение F пространства E в себя называется сжимающим, если

xнеподвижная точка, если F(x)=x.

Оценка расстояния между неподвижной точкой и приближением x(k) производится следующим образом:

или .

Таким образом, чтобы погрешность вычислений была меньше наперед заданного числа ε, достаточно потребовать .

Рассмотрим 3 типа метрики.

Пусть x(x1,x2,…,xn) и y(y1,y2,…,yn) – две точки n-мерного пространства.

I. Максимальная из сумм модулей коэффициентов при неизвестных в правой части системы, взятых по строкам, должна быть меньше единицы:

II. Максимальная из сумм модулей коэффициентов при неизвестных в правой части системы, взятых по столбцам, должна быть меньше единицы:

III. Корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при неизвестных в правой части системы, должен быть меньше единицы:

 

СЛУ преобразуется таким образом, чтобы по одной из метрик выполнялось α < 1.

При этом СЛУ задает отображение, которое при α < 1 будет сжимающим. Значит, взяв любую точку в качестве начального приближения, получим последовательность точек, которая будет сходиться к неподвижной точке; это точка и будет решением системы.

Чтобы привести СЛУ к итерационному виду нужно:

1) с помощью равносильных преобразований привести систему к виду с преобладающими диагональными коэффициентами (по абсолютной величине);

2) разделить все уравнения на соответствующие диагональные коэффициенты и выразить из каждого уравнения неизвестное с коэффициентом, равным единице.

Если для этой системы α < 1, то система задает сжимающее отображение.

Рассмотрим на примере:

Решим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Преобразуем систему к итерационному виду, для чего поменяем местами 1-ую строку со 2-ой, после чего каждую строку разделим на соответствующие диагональные элементы.

Проверим, будет ли отображение сжимающим:

Запишем формулы для решения системы методом итераций:

Программа решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом простой итерации (с использованием евклидовой метрики):


 

Блок-схема метода простой итерации:
   

 


– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Математические модели и численные методы

Постановка задачи.. Рассмотрим уравнение вида F x где F x определенная и непрерывная на отрезке a b функция..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Метод простой итерации

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Математические модели и численные методы
  Процесс решения задачи с использованием ЭВМ включает, как правило, следующие этапы: 1. Математическая постановка задачи и построение математической модели.

Структура погрешности при решении задачи на ЭВМ
  Погрешность возникает на ряде этапов решения задачи. Введем обозначения: R – точное решение задачи (результат);

Графический способ отделения корней
а) Теорема. Если на отрезке [a,b] функция y=F(x) определена и непрерывна, и на его концах принимает значения разных з

Отделения корней программным способом
Пусть имеется уравнение F(x)=0, причем все корни находятся на отрезке [a,b]. Будем вычислять все значения функции y=F(x), начиная с точки x=a, двигаясь вправо шагом h

Метод половинного деления
Пусть 1) функция y=F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]. 2) F(a)F(b)<0 Требуется найти корень на отрезке с точностью ε. Разделим отр

Метод хорд
Пусть 1) функция y=F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]. 2) F(a)F(b)<0 Требуется найти корень на отрезке с точностью ε. В кач

Метод касательных
Пусть функция y=F(x) определена, непрерывна, монотонна и дифференцируема в некоторой окрестности корня. Требуется найти корень на отрезке с точностью ε. На k

Метод простой итерации
Заменим уравнение F(x)=0 равносильным уравнением x = f(x). Теорема. Пусть уравнение x=f(x) имеет единственный корень на отрезке [a,b] и выполнены услов

Оценка погрешности метода итераций
Пусть xn – приближение к истинному значению x* корня уравнения x=f(x). Абсолютная ошибка Dxn=|x*-xn|.

Преобразование к итерационному виду
1) Универсальный способ приведения уравнения F(x)=0 к виду x=f(x). Уравнение F(x)=0 приводится к равносильному уравнению x = x – m F(x), таким образом, f(x)

Постановка задачи
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными: Ее можно записать в матричном виде A x = B

Метод Гаусса
Метод Гаусса относится к точным методам, однако вычислительная ошибка присутствует всегда (ошибка округления и, возможно, ошибка исходных данных). Рассмотрим систему m линейных урав

Решение слу методом зейделя
При решении СЛУ методом простой итерации каждый шаг итерационного процесса состоит в переходе от уже имеющегося приближения значений неизвестных к новому приближению. Основная идея метода

Постановка задачи
Пусть известны значения функции f в некоторых точках: x x0 x0 x0

Интерполяционный многочлен Лагранжа
  Пусть функция задана таблицей (1). Построим интерполяционный многочлен Ln(x), чья степень не превосходит n, и для которого выполнены условия (2).

Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов
  Рассмотрим случай, когда h=xi+1 – xi=const (i=0, 1, …). Рассмотрим конечные разности:

Первая интерполяционная формула Ньютона
  Будем искать интерполяционный многочлен Ньютона в виде многочлена n-ой степени: Pn(x) = a0+ a1(x-x0) + a2(x

Вторая интерполяционная формула Ньютона
  Вторая интерполяционная формула Ньютона применяется, когда значение аргумента ближе к концу отрезка интерполяции (формула для интерполирования назад). Интерполяционный многочлен ище

Вычисление производной по определению
  Вычисление производной по определению применяется, когда известно аналитическое выражение функции y=f(x). Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестно

Вычисление производной на основе интерполяционного многочлена Лагранжа
  Вычисление производной на основе интерполяционного многочлена Лагранжа применяется, когда аналитическое выражение функции y=f(x) не известно, а функция y=f(x) задана т

Численное интегрирование
Для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница: , где F(x) – одна из первообразных функции

Формула трапеций
Найдем коэффициенты формулы , где , i=0,1,…,n при n=1.

Формула Симпсона
Найдем коэффициенты формулы , где , i=0,1,…,n при n=2.

Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечными пределами
  Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a, +¥) и существует предел интеграла как функции верхнего предела интегрирования:

Аппроксимация некоторых несобственных интегралов определенными интегралами с точностью ε
  I. , a>0, p>1, C>0 Подынтегральная функция знакоположительна, тогда условие

Упрощение подынтегральных функций
Несобственный интеграл называют абсолютно сходящимся, если сходится несобственный интеграл

Приближенное вычисление несобственных интегралов от функции с бесконечным разрывом
  Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a, b) и или

Основные определения и постановка задачи
Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид: (1) Решением дифференци

Метод Эйлера
В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, этот метод называется также методом ломаных Эйлера. Угловой коэффициент касательной к интегра

Методы Рунге-Кутта
Численные методы решения задачи Коши , y(x0)=y0 на равномерной сетке {x0=a, x1, x

Постановка задачи
Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы: xi x1 x2

Нахождение приближающей функции в виде линейной функции
Рассмотрим приближающую функцию в виде F(x,a,b) = ax+b. Наша задача – отыскать значения параметров a и b. Рассмотрим функцию

Нахождение приближающей функции в виде других элементарных функций
1. Степенная функция: y=a xm Прологарифмируем: ln y = ln a + m ln x Замена: m = A, ln a = B ln y =

Нахождение приближающей функции в виде квадратичной функции
Рассмотрим приближающую функцию в виде F(x,a,b,с) = ax2+bx+c. Наша задача – отыскать значения параметров a, b и c. Рассмотрим функцию

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги