Основные определения и постановка задачи - раздел Математика, Математические модели и численные методы Дифференциальное Уравнение 1-Го Порядка, Разрешенное Относительно Производной...
Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид:
(1)
Решением дифференциального уравнения (1) называется функция y(x), подстановка которой в уравнение обращает его в тождество: .
График решения y=y(x) называется интегральной кривой.
Задача Коши для дифференциального уравнения (1) состоит в том, чтобы найти решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0 (2). Пару чисел (x0,y0) называют начальными данными.
Решение задачи Коши называется частным решением дифференциального уравнения (1) при условии (2).
Геометрически задача Коши означает, что требуется найти интегральную кривую y=y(x), проходящую через заданную точку (x0,y0).
Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.
Пусть функция f(x,y) – правая часть уравнения - непрерывна вместе со своей частной производной по переменной y в некоторой области D на плоскости. Тогда при любых начальных данных (x0,y0)ÎD задача Коши имеет единственное решение y=y(x).
При выполнении условий теоремы через точку (x0,y0) на плоскости проходит единственная интегральная кривая.
В классическом анализе разработано немало приемов решения дифференциальных уравнений, однако при решении практических задач эти методы не дают результата. В этом случае прибегают к методам приближенного решения дифференциальных уравнений. В зависимости от формы представления решения выделяют
· аналитические методы (решение в виде аналитического выражения);
· графические методы (решение в виде графика);
· численные методы (решение в виде таблицы).
Численное решение задачи Коши состоит в том, чтобы получить искомое решение y(x) в виде таблицы его приближенных значений аргумента x на некотором отрезке [a, b]:
x0=a, x1, x2, …, xm=b (3)
Точки (3) называют узловыми, множество этих точек называют сеткой на отрезке [a, b].
Как правило, используют равномерную сетку с шагом h:
xi=x0+ih (i=0, 1, …, m)
Приближенные значения численного решения задачи Коши в узловых точках обозначим yi.
yi » y(xi), где (i=0, 1, …, m)
Начальное условие выполняется точно: y0 = y(x0).
Величина погрешности численного решения задачи Коши на сетке отрезка [a, b] оценивается величиной ,
т.е. расстоянием между векторами приближенного решения (y0, y1, …,ym) и точного решения (y(x0), y(x1), …,y(xm)) на сетке по m-норме.
Постановка задачи... Рассмотрим уравнение вида F x где F x определенная и непрерывная на отрезке a b функция...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Основные определения и постановка задачи
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Математические модели и численные методы
Процесс решения задачи с использованием ЭВМ включает, как правило, следующие этапы:
1. Математическая постановка задачи и построение математической модели.
I. Графический способ отделения корней
а) Теорема.
Если на отрезке [a,b] функция y=F(x) определена и непрерывна, и на его концах принимает значения разных з
II. Отделения корней программным способом.
Пусть имеется уравнение F(x)=0, причем все корни находятся на отрезке [a,b]. Будем вычислять все значения функции y=F(x), начиная с точки x=a, двигаясь вправо шагом h
Метод половинного деления
Пусть 1) функция y=F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b].
2) F(a)F(b)<0
Требуется найти корень на отрезке с точностью ε.
Разделим отр
Метод хорд
Пусть 1) функция y=F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b].
2) F(a)F(b)<0
Требуется найти корень на отрезке с точностью ε.
В кач
Метод касательных
Пусть функция y=F(x) определена, непрерывна, монотонна и дифференцируема в некоторой окрестности корня.
Требуется найти корень на отрезке с точностью ε.
На k
Метод простой итерации
Заменим уравнение F(x)=0 равносильным уравнением x = f(x).
Теорема.
Пусть уравнение x=f(x) имеет единственный корень на отрезке [a,b] и выполнены услов
Оценка погрешности метода итераций
Пусть xn – приближение к истинному значению x* корня уравнения x=f(x).
Абсолютная ошибка Dxn=|x*-xn|.
Преобразование к итерационному виду
1) Универсальный способ приведения уравнения F(x)=0 к виду x=f(x).
Уравнение F(x)=0 приводится к равносильному уравнению x = x – m F(x), таким образом, f(x)
Постановка задачи
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:
Ее можно записать в матричном виде A x = B
Метод Гаусса
Метод Гаусса относится к точным методам, однако вычислительная ошибка присутствует всегда (ошибка округления и, возможно, ошибка исходных данных).
Рассмотрим систему m линейных урав
Метод простой итерации
Функцию r(x,y), определяющую расстояние между точками x и y множества X назовем метрикой, если
1) r(x,y)³0
2) r(x,y)=0 x=y
Решение СЛУ методом Зейделя
При решении СЛУ методом простой итерации каждый шаг итерационного процесса состоит в переходе от уже имеющегося приближения значений неизвестных к новому приближению.
Основная идея метода
Постановка задачи
Пусть известны значения функции f в некоторых точках:
x
x0
x0
x0
Интерполяционный многочлен Лагранжа
Пусть функция задана таблицей (1). Построим интерполяционный многочлен Ln(x), чья степень не превосходит n, и для которого выполнены условия (2).
Вторая интерполяционная формула Ньютона
Вторая интерполяционная формула Ньютона применяется, когда значение аргумента ближе к концу отрезка интерполяции (формула для интерполирования назад). Интерполяционный многочлен ище
Вычисление производной по определению
Вычисление производной по определению применяется, когда известно аналитическое выражение функции y=f(x).
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестно
Метод Эйлера
В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, этот метод называется также методом ломаных Эйлера.
Угловой коэффициент касательной к интегра
Методы Рунге-Кутта
Численные методы решения задачи Коши , y(x0)=y0 на равномерной сетке {x0=a, x1, x
Постановка задачи
Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы:
xi
x1
x2
Новости и инфо для студентов