Метод Эйлера - раздел Математика, Математические модели и численные методы В Основе Метода Эйлера Лежит Идея Графического Построения Решения Дифференциа...
В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, этот метод называется также методом ломаных Эйлера.
Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке M0(x0,y0) равен .
Уравнение касательной к кривой в точке M0 имеет вид или , откуда y1=y0+hf(x0,y0).
Аналогично, угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке M1(x1,y1) равен . Точку M2(x2,y2) получим соответственно
x2=x1+h y2=y1+hf(x1,y1).
Продолжая вычисления по данной схеме, получим формулы Эйлера для приближенного решения задачи Коши с начальными данными (x0,y0) на сетке отрезка [a, b] с шагом h:
xi=xi-1+h yi=yi-1+hf(xi-1,yi-1). (4)
M4
M3
Графической иллюстрацией приближенного решения является ломаная, соединяющая последовательно точки M0, M1, …,Mm, которую называют ломаной Эйлера.
Погрешность метода Эйлера можно оценить неравенством
, (5)
которое можно представить в виде d=Ch, где . Таким образом, метод Эйлера имеет первый порядок точности.
Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с шагом h/2, в точке xiÎ[a, b] производят с помощью приближенного равенства – правила Рунге:
(6)
где P – порядок точности численного метода.
Таким образом, оценка полученного результата по правилу Рунге вынуждает проводить вычисления дважды: с шагом h и h/2, причем совпадение десятичных знаков в полученных двумя способами результатах дает основание считать их верными.
Постановка задачи... Рассмотрим уравнение вида F x где F x определенная и непрерывная на отрезке a b функция...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Метод Эйлера
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Математические модели и численные методы
Процесс решения задачи с использованием ЭВМ включает, как правило, следующие этапы:
1. Математическая постановка задачи и построение математической модели.
I. Графический способ отделения корней
а) Теорема.
Если на отрезке [a,b] функция y=F(x) определена и непрерывна, и на его концах принимает значения разных з
II. Отделения корней программным способом.
Пусть имеется уравнение F(x)=0, причем все корни находятся на отрезке [a,b]. Будем вычислять все значения функции y=F(x), начиная с точки x=a, двигаясь вправо шагом h
Метод половинного деления
Пусть 1) функция y=F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b].
2) F(a)F(b)<0
Требуется найти корень на отрезке с точностью ε.
Разделим отр
Метод хорд
Пусть 1) функция y=F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b].
2) F(a)F(b)<0
Требуется найти корень на отрезке с точностью ε.
В кач
Метод касательных
Пусть функция y=F(x) определена, непрерывна, монотонна и дифференцируема в некоторой окрестности корня.
Требуется найти корень на отрезке с точностью ε.
На k
Метод простой итерации
Заменим уравнение F(x)=0 равносильным уравнением x = f(x).
Теорема.
Пусть уравнение x=f(x) имеет единственный корень на отрезке [a,b] и выполнены услов
Оценка погрешности метода итераций
Пусть xn – приближение к истинному значению x* корня уравнения x=f(x).
Абсолютная ошибка Dxn=|x*-xn|.
Преобразование к итерационному виду
1) Универсальный способ приведения уравнения F(x)=0 к виду x=f(x).
Уравнение F(x)=0 приводится к равносильному уравнению x = x – m F(x), таким образом, f(x)
Постановка задачи
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:
Ее можно записать в матричном виде A x = B
Метод Гаусса
Метод Гаусса относится к точным методам, однако вычислительная ошибка присутствует всегда (ошибка округления и, возможно, ошибка исходных данных).
Рассмотрим систему m линейных урав
Метод простой итерации
Функцию r(x,y), определяющую расстояние между точками x и y множества X назовем метрикой, если
1) r(x,y)³0
2) r(x,y)=0 x=y
Решение СЛУ методом Зейделя
При решении СЛУ методом простой итерации каждый шаг итерационного процесса состоит в переходе от уже имеющегося приближения значений неизвестных к новому приближению.
Основная идея метода
Постановка задачи
Пусть известны значения функции f в некоторых точках:
x
x0
x0
x0
Интерполяционный многочлен Лагранжа
Пусть функция задана таблицей (1). Построим интерполяционный многочлен Ln(x), чья степень не превосходит n, и для которого выполнены условия (2).
Вторая интерполяционная формула Ньютона
Вторая интерполяционная формула Ньютона применяется, когда значение аргумента ближе к концу отрезка интерполяции (формула для интерполирования назад). Интерполяционный многочлен ище
Вычисление производной по определению
Вычисление производной по определению применяется, когда известно аналитическое выражение функции y=f(x).
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестно
Новости и инфо для студентов