Метод половинного деления - раздел Математика, Математические модели и численные методы Пусть 1) Функция Y=F(X) Определена И Непрерывна На Отрезке [A,b...
Пусть 1) функция y=F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b].
2) F(a)F(b)<0
Требуется найти корень на отрезке с точностью ε.
Разделим отрезок [a,b] пополам точкой . Если , то возможны два случая: 1) F(x) меняет знак на отрезке [a; c];
2) F(x) меняет знак на отрезке [c; b].
Выбираем тот отрезок, на котором функция меняет знак. Если F(x) меняет знак на отрезке [a; c], то b:=c; если F(x) меняет знак на отрезке [c; b], то a:=c.
Условие окончания счета: .
Корень уравнения: . Погрешность метода: .
Рассмотрим положительные и отрицательные стороны метода половинного деления.
«Плюсы»:
| «Минусы»:
|
· надежность
· не требует приведения к специальному виду
· не требует дифференцируемости функции
· устойчив к ошибкам округления
| · медленная сходимость
· метод не применим для корней четной кратности:
|
Блок-схема уточнения корней методом половинного деления:
|
|
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Постановка задачи... Рассмотрим уравнение вида F x где F x определенная и непрерывная на отрезке a b функция...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Метод половинного деления
Все темы данного раздела:
Математические модели и численные методы
Процесс решения задачи с использованием ЭВМ включает, как правило, следующие этапы:
1. Математическая постановка задачи и построение математической модели.
Структура погрешности при решении задачи на ЭВМ
Погрешность возникает на ряде этапов решения задачи. Введем обозначения:
R – точное решение задачи (результат);
I. Графический способ отделения корней
а) Теорема.
Если на отрезке [a,b] функция y=F(x) определена и непрерывна, и на его концах принимает значения разных з
II. Отделения корней программным способом.
Пусть имеется уравнение F(x)=0, причем все корни находятся на отрезке [a,b]. Будем вычислять все значения функции y=F(x), начиная с точки x=a, двигаясь вправо шагом h
Метод хорд
Пусть 1) функция y=F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b].
2) F(a)F(b)<0
Требуется найти корень на отрезке с точностью ε.
В кач
Метод касательных
Пусть функция y=F(x) определена, непрерывна, монотонна и дифференцируема в некоторой окрестности корня.
Требуется найти корень на отрезке с точностью ε.
На k
Метод простой итерации
Заменим уравнение F(x)=0 равносильным уравнением x = f(x).
Теорема.
Пусть уравнение x=f(x) имеет единственный корень на отрезке [a,b] и выполнены услов
Оценка погрешности метода итераций
Пусть xn – приближение к истинному значению x* корня уравнения x=f(x).
Абсолютная ошибка Dxn=|x*-xn|.
Преобразование к итерационному виду
1) Универсальный способ приведения уравнения F(x)=0 к виду x=f(x).
Уравнение F(x)=0 приводится к равносильному уравнению x = x – m F(x), таким образом, f(x)
Постановка задачи
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:
Ее можно записать в матричном виде A x = B
Метод Гаусса
Метод Гаусса относится к точным методам, однако вычислительная ошибка присутствует всегда (ошибка округления и, возможно, ошибка исходных данных).
Рассмотрим систему m линейных урав
Метод простой итерации
Функцию r(x,y), определяющую расстояние между точками x и y множества X назовем метрикой, если
1) r(x,y)³0
2) r(x,y)=0 x=y
Решение СЛУ методом Зейделя
При решении СЛУ методом простой итерации каждый шаг итерационного процесса состоит в переходе от уже имеющегося приближения значений неизвестных к новому приближению.
Основная идея метода
Постановка задачи
Пусть известны значения функции f в некоторых точках:
x
x0
x0
x0
Интерполяционный многочлен Лагранжа
Пусть функция задана таблицей (1). Построим интерполяционный многочлен Ln(x), чья степень не превосходит n, и для которого выполнены условия (2).
Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов
Рассмотрим случай, когда h=xi+1 – xi=const (i=0, 1, …).
Рассмотрим конечные разности:
Первая интерполяционная формула Ньютона
Будем искать интерполяционный многочлен Ньютона в виде многочлена n-ой степени:
Pn(x) = a0+ a1(x-x0) + a2(x
Вторая интерполяционная формула Ньютона
Вторая интерполяционная формула Ньютона применяется, когда значение аргумента ближе к концу отрезка интерполяции (формула для интерполирования назад). Интерполяционный многочлен ище
Вычисление производной по определению
Вычисление производной по определению применяется, когда известно аналитическое выражение функции y=f(x).
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестно
Вычисление производной на основе интерполяционного многочлена Лагранжа
Вычисление производной на основе интерполяционного многочлена Лагранжа применяется, когда аналитическое выражение функции y=f(x) не известно, а функция y=f(x) задана т
Численное интегрирование
Для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница: ,
где F(x) – одна из первообразных функции
Формула трапеций
Найдем коэффициенты формулы ,
где , i=0,1,…,n при n=1.
Формула Симпсона
Найдем коэффициенты формулы ,
где , i=0,1,…,n при n=2.
Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечными пределами
Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a, +¥) и существует предел интеграла как функции верхнего предела интегрирования:
Аппроксимация некоторых несобственных интегралов определенными интегралами с точностью ε.
I. , a>0, p>1, C>0
Подынтегральная функция знакоположительна, тогда условие
Упрощение подынтегральных функций
Несобственный интеграл называют абсолютно сходящимся, если сходится несобственный интеграл
Приближенное вычисление несобственных интегралов от функции с бесконечным разрывом
Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a, b) и или
Основные определения и постановка задачи
Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид:
(1)
Решением дифференци
Метод Эйлера
В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, этот метод называется также методом ломаных Эйлера.
Угловой коэффициент касательной к интегра
Методы Рунге-Кутта
Численные методы решения задачи Коши , y(x0)=y0 на равномерной сетке {x0=a, x1, x
Постановка задачи
Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы:
xi
x1
x2
Нахождение приближающей функции в виде линейной функции
Рассмотрим приближающую функцию в виде F(x,a,b) = ax+b.
Наша задача – отыскать значения параметров a и b.
Рассмотрим функцию
Нахождение приближающей функции в виде других элементарных функций
1. Степенная функция: y=a xm
Прологарифмируем: ln y = ln a + m ln x
Замена: m = A, ln a = B ln y =
Нахождение приближающей функции в виде квадратичной функции
Рассмотрим приближающую функцию в виде F(x,a,b,с) = ax2+bx+c.
Наша задача – отыскать значения параметров a, b и c.
Рассмотрим функцию
Новости и инфо для студентов