ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1 УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНА ИЗМЕНЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1
УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНА ИЗМЕНЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ОПЫТА
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
События подразделяются на следующие. 1. Событие называется достоверным, если в результате данного испытания оно… 2. Событие называется невозможным, если в результате данного испытания оно произойти не может. Например, появление…II. МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ ЭМПИРИЧЕСКОЙ КРИВОЙ
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЕЕ ПАРАМЕТРОВ И ХАРАКТЕРИСТИК
ПОСТРОЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКОЙ КРИВОЙ
Результаты измерения следует записывать в порядке их получения в виде отклонений от номинального значения размера или в виде фактических результатов… Ниже в качестве примера приводится таблица результатов измерения размера 42,5… В данном примере зона рассеивания R=0,28 мм. Разделим ее на 14 групп с интервалами h=0,02 мм и подсчитаем число…Таблица 4
| Номер интервала | Интервал | Середина интервала | Частоты mi | Частости 
| ||
| свыше | до | в условных обозначениях | в цифрах | |||
 1
| -0,15 -0,13 -0,11 -0,09 -0,07 -0,05 -0,03 -0,01 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 | -0,13 -0,11 -0,09 -0,07 -0,05 -0,03 -0,01 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13 | -0,14 -0,12 -0,10 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 | 0,015 0,040 0,055 0,100 0,135 0,180 0,145 0,090 0,085 0,085 0,040 0,020 0,005 0,005 |
В условных обозначениях повторяемость отмечается следующим образом:
Встречаемость
| … | ||||||||||||||
  
|
Каждое последующее число получается из предыдущего добавлением точки или отрезка прямой. Этот способ подсчета наиболее удобен.
Для графического изображения эмпирических распределений строятся гистограммы и полигоны распределения.
Для случайных величин дискретного типа употребляются обычно полигоны распределений, для случайных величин непрерывного типа - гистограммы.
Полигоны распределений и гистограммы могут быть построены как по частотам, так и по частостям. Строить полигоны предпочтительнее по частостям.
Для построения полигона распределений по оси абсцисс (рис. 6) откладываются значения случайной величины, а по оси ординат - величины, пропорциональные частостям. Сумма ординат равна единице.
Рис. 6
Для построения гистограммы по оси абсцисс откладываются в выбранном масштабе интервалы классов: от -0,15 до -13; от -13 до -11 и т. д. По оси ординат пропорционально частостям откладываются высоты прямоугольников.
Гистограмма изображает дифференциальный закон распределения случайной величины.
ТЕХНИКА ВЫЧИСЛЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ
ЭМПИРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В зависимости от того, каким количеством цифр выражаются значения случайной величины, а также от объема выборки, может быть рекомендована различная техника вычисления параметров выборки.
А) Значения выборки заданы однозначными или двухзначными величинами.
Объем выборки N < 25
Последовательность вычислений рассмотрим на данных табл. 4. Для этого составляем табл. 5 и проводим некоторые вспомогательные вычисления, указанные… Таблица 5 Номер интервала Середина интервала хi … В конце колонок 3, 5, 6 проставлены суммы чисел соответствующих колонок.Б) Значения выборки заданы многозначными величинами.
В случаях, когда значения случайной величины (хi) заданы тремя и более…Таблица 6
| № | Интервалы | mi | xi | x'i | mix’i | mi(x’i)2 | mi(x’i)3 | mi(x’i)4 |
| 27,5-29,5 29,5-31,5 31,5-33,5 33,5-35,5 35,5-37,5 37,5-39,5 39,5-41,5 41,5-43,5 43,5-45,5 | 28,5 30,5 32,5 34,5 36,5 38,5 40,5 42,5 44,5 | -4 -3 -2 -1 | -12 -27 -46 -33 | -192 -243 -184 -33 | ||||
| Сумма | -14 | -170 |
Например, 
; 
.
Вычисляем начальные моменты (а1, а2, а3, а4), равные:
;
Вычисляем центральные моменты (m2, m3, m4),
m2 = a2 - a12 = 2,706 - (- 0,082)2 = 2,699;
m3 = a3 - 3a1a2 + 2a13 = - 1 - 3 (- 0,082) 2,706 + 2 (- 0,082)2 = - 0,355;
m4 = a4 - 4a1a3 + 6a12a2 - 3a14 = 18,659 - 4´(-0,082)´(- 1) +
+ 6´(- 0,082)2 ´2,706 - 3´(-0,082)4 = 18,439.
Вычисляем среднее значение и среднее квадратическое отклонение величины Х
Вычисляем показатель асимметрии 
и показатель эксцесса (крутизна) 
В) Результаты эксперимента заданы выборкой небольшого объема.
Объем выборки N < 25
В тех случаях, когда объем выборки невелик, значения случайной величины делить на интервалы нецелесообразно. Определять моменты 3-го и 4-го порядков… Пусть в результате эксперимента получены следующие значения случайно… Среднее значение и дисперсия определяются по формуламМЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛЯ ДОПУСКА
ПО ЭМПИРИЧЕСКОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ
В этом случае принимать за поле допуска величину размаха R нельзя, так как практически предельное поле рассеивания в общем случае никогда не равно… Если же за поле допуска принимать значение , то границы поля допуска будут… Задача состоит в том, чтобы выбранное поле допуска охватывало не менее 99,73% всей площади, ограниченной генеральной…ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ АСИММЕТРИИ
И ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАССЕИВАНИЯ
Часто требуется, кроме среднего значения и дисперсии, определять коэффициенты относительной асимметрии и относительного рассеивания (aэ, Кэ). При их определении может быть несколько случаев.
А) Поле допуска задано и изменению не подлежит.
Рассмотрим пример по материалам табл. 5. Положим, что заданы нижнее отклонение НО = t1 = -0.14 мм и верхнее отклонение… По значениям t1 и t2 определяем координату середины поля допуска и половину поля допуска В рассматриваемом примере …Б) Поле допуска не задано
Рассмотрим тот же пример. Нашли, что t1 = -0.2033; t2 = 0.1469; Dэ= -0.084 dэ = 0,1751. Для… ТогдаКРИТЕРИИ ДЛЯ НЕПРИНЯТИЯ РЕЗКО ВЫДЕЛЯЮЩИХСЯ
Очень часто на практике встает вопрос о том, следует отвергнуть или нет некоторые результаты эксперимента, резко выделяющиеся от остальных. Если… В тех же случаях, когда имеется лишь подозрение на то, что один или несколько… Последовательность вычисления рассматриваем на примере [*].Таблица 9
| N | l0,95 | l0,99 |
| 2,8 2,2 1,5 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 | 3,7 2,9 2,0 1,8 1,7 1,6 1,5 1,3 1,2 |
Если полученное значений l больше значения, соответствующего, например, l0,95, то при данном N с вероятностью 0,95 исследуемое наблюдение случайно, если менее, то признавать случайным его нельзя, и следует отбросить.
Рассмотрим пример.
Пусть имеем результаты наблюдений, расположенные в возрастающем порядке: 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 17. Определяем 
и S:
В примере xN+1 = 17; хN = 11.
Определяем: 
По табл. 9 находим, что для ближайшего N = 10; l0,95 = 1,5. (l0,95 = 1,5) < (l = 1,6). Поэтому значение xN+1=17 необходимо отбросить.
ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭМПИРИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
Подбор теоретической функции для эмпирического распределения
а) по опытным данным строится эмпирическая кривая; б) определяются параметры эмпирического распределения; в) выдвигается одна или несколько гипотез о функции плотности исследуемой случайной величины, исходя из внешнего вида…Выравнивание эмпирического распределения по гипотетическим теоретическим
В каждое теоретическое распределение ( в его дифференциальную или интегральную функции) входит несколько величин, называемых параметрами (… Данный закон двухпараметрический. Поэтому предварительно необходимо вычислить… Для вычисления воспользуемся данными, приведенными в табл. 5.СРАВНЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ И ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ЧАСТОТ ПО КРИТЕРИЯМ СОГЛАСИЯ
Ниже приведена методика сравнения эмпирического и теоретического распределения по двум общепризнанным критериям. а) Критерий согласия Пирсона Критерий является наиболее состоятельным при большом числе наблюдений. Его состоятельность состоит в том, что он почти…Б) Критерий Колмогорова
Применение данного критерия рассмотрим на том же примере. Таблица 12 Номер интервала (№) …ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2
УСТАНОВЛЕНИЕ ВИДА ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ
Функционально зависимыми являются такие величины, у которых каждому значению одной величины соответствует вполне определенное (чаще всего одно)… Стохастически зависимыми называются такие величины, у которых различным… Остановимся на выравнивании эмпирических данных по некоторым видам функциональных зависимостей и на методике…ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
y = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anxn , где a0, a1, a2,..., an - неизвестные параметры. Для их нахождения… Последовательность вычисления и способы определения входящих в интерполяционную формулу коэффициентов покажем на…О п р е д е л е н и е п а р а б о л ы н у л е в о й с т е п е н и
Определяем величину . Она равна. Для уравнения параболы нулевого порядка . Находим уравнение параболы нулевого порядкаО п р е д е л е н и е п а р а б о л ы п е р в о г о п о р я д к а
Вычисляем . Заполняем колонку 5, вычисляя значения . Заполняем колонку 6, вычисляя произведения и находим.О п р е д е л е н и е п а р а б о л ы в т о р о г о и т р е т ь е г о п о р я д к а
Вычисляем произведение , заполняем колонку 8 и находим, что 9460. Вычисляем , заполняем колонку 9 и находим, что . Вычисляем , заполняем колонку 10 и находим, что .КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
Величина (а) носит название ковариации.О п р е д е л е н и е к о э ф ф и ц и е н т а к о р р е л я ц и и п о в ы б о р к е н е б о л ь ш о г о о б ъ е м а
Для выборки небольшого объема коэффициент корреляции удобно определять но формуле: , (с)Определение коэффициента корреляции по выборка большого объема
ОБЪЕМ ВЫБОРКИ N > 50
Пример. Определим коэффициент корреляции между случайными величинами размеров двух деталей, обрабатываемых одновременно на одном станке. После… Таблица 15 Номер опыта (№) …Таблица значений P(l) критерия Колмогорова
| l | P (l) | l | P (l) |
| 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,58 0,60 0,64 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 | 1,000 0,9997 0,9972 0,9874 0,9639 0,9228 0,8896 0,8643 0,8073 0,7920 0,7112 0,6272 0,5441 0,4653 0,3927 0,3275 | 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 | 0,2700 0,1777 0,1122 0,0681 0,0397 0,0222 0,0120 0,0062 0,0032 0,0015 0,0007 0,0003 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 |
Приложение 4
Таблица значений 
| r | ||||||||||
| 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,99 | 0,0000 0,1003 0,2027 0,3095 0,4236 0,5493 0,6932 0,8673 1,0986 1,4722 2,6466 | 0,0101 0,1104 0,2132 0,3205 0,4356 0,5627 0,7089 0,8872 1,1270 1,5275 2,6996 | 0,0200 0,1206 0,2237 0,3316 0,4477 0,5764 0,7250 0,9077 1,1568 1,5890 2,7587 | 0,0300 0,1308 0,2342 0,3428 0,4599 0,5901 0,7414 0,9287 1,1881 1,6584 2,8257 | 0,0400 0,1409 0,2448 0,3541 0,4722 0,6042 0,7582 0,9505 1,2212 1,7381 2,9031 | 0,0501 0,1511 0,2554 0,3654 0,4847 0,6184 0,7753 0,9730 1,2562 1,8318 2,9945 | 0,0601 0,1614 0,2661 0,3767 0,4973 0,6328 0,7928 0,9962 1,2933 1,9459 3,1063 | 0,0701 0,1717 0,2769 0,3884 0,5101 0,6475 0,8107 1,0203 1,3331 2,0923 3,2504 | 0,0802 0,1820 0,2877 0,4001 0,5230 0,6625 0,8291 1,0454 1,3758 2,2976 3,4534 | 0,0902 0,1923 0,2986 0,4118 0,5361 0,6777 0,8480 1,0714 1,4219 2,6467 3,8002 |
Приложение 5
Значение функции 
| t | ||||||||||||||||||||||
| 0,0 | ||||||||||||||||||||||
| 0,1 | ||||||||||||||||||||||
| 0,2 | ||||||||||||||||||||||
| 0,3 | ||||||||||||||||||||||
| 0,4 | ||||||||||||||||||||||
| 0,5 | ||||||||||||||||||||||
| 0,6 | ||||||||||||||||||||||
| 0,7 | ||||||||||||||||||||||
| 0,8 | ||||||||||||||||||||||
| 0,9 | ||||||||||||||||||||||
| 1,0 | ||||||||||||||||||||||
| 1,1 | ||||||||||||||||||||||
| 1,2 | ||||||||||||||||||||||
| 1,3 | ||||||||||||||||||||||
| 1,4 | ||||||||||||||||||||||
| 1,5 | ||||||||||||||||||||||
| 1,6 | ||||||||||||||||||||||
| 1,7 | ||||||||||||||||||||||
| 1,8 | ||||||||||||||||||||||
| 1,9 | ||||||||||||||||||||||
| 2,0 | ||||||||||||||||||||||
| 2,1 | Значения, помещенные выше, служат для нахождения Ф(t) по величине t с тремя десятичными знаками. | |||||||||||||||||||||
| 2,2 | ||||||||||||||||||||||
| 2,3 | ||||||||||||||||||||||
| 2,4 | ||||||||||||||||||||||
| 2,5 | ||||||||||||||||||||||
| 2,6 | ||||||||||||||||||||||
| 2,7 | ||||||||||||||||||||||
| 2,8 | ||||||||||||||||||||||
| 2,9 | ||||||||||||||||||||||
| t | Ф(t) | t | Ф(t) | |||||||||||||||||||
| 3,0 | 3,50 | 3,80 | ||||||||||||||||||||
| 3,1 | 3,55 | 3,90 | ||||||||||||||||||||
| 3,2 | 3,60 | 4,00 | ||||||||||||||||||||
| 3,3 | 3,65 | 4,50 | ||||||||||||||||||||
| 3,4 | 3,70 | 5,00 | ||||||||||||||||||||
Примечание. Значение 0 для Ф(t) опущено, а для t=3,0-3,49 опущено 0,4 (помещены десятичные значения, начиная со второго знака после запятой).
Пример: t=3,25; Ф(t)=0,49942.